Đến nội dung


Hình ảnh

Cho dãy số thỏa $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $ Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 11-01-2013 - 21:24

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $
Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-01-2013 - 21:24

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 12-06-2019 - 20:07

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $
Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.

 

Ta có $x_{1}=1\Rightarrow x_{2}=\frac{1}{4},x_{3}=-\frac{15142}{17}<0$

Và bắt đầu từ $x_{4}$ thì mọi số hạng của dãy đều lớn hơn $0$ ( dễ chứng minh được )

Nên ta có $x_{n}>0,\forall n\geq 4$

Lại có: $x_{n+1}=1010-\frac{4039}{2\left ( x_{n}^{2}+1 \right )}<1009$

Ta xét hàm số: $f(x)=\frac{2020x^{2}-2019}{2\left ( x^{2}+1 \right )}, \forall 0<x<1009$

Khi đó: $f(x)=1010-\frac{4039}{2\left ( x^{2}+1 \right )}$$\Rightarrow f^{'}(x)=\frac{4039x}{(x^{2}+1)^{2}}>0,\forall 0<x<1009$

Vậy $f$ đồng biến trên $(0;1009)$ 

Dễ thấy $(x_{n})$ là dãy số tăng ngặt mà bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn

Giả sử $limx_{n}=L; (0<L<1009)$ đến đây giải phương trình giới hạn ta tính được $L$ ( hình như số lẻ :v )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 12-06-2019 - 20:08

  N.D.P 




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh