Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-01-2013 - 21:24
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-01-2013 - 21:24
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
Cho dãy số xác định bởi $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $
Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.
Ta có $x_{1}=1\Rightarrow x_{2}=\frac{1}{4},x_{3}=-\frac{15142}{17}<0$
Và bắt đầu từ $x_{4}$ thì mọi số hạng của dãy đều lớn hơn $0$ ( dễ chứng minh được )
Nên ta có $x_{n}>0,\forall n\geq 4$
Lại có: $x_{n+1}=1010-\frac{4039}{2\left ( x_{n}^{2}+1 \right )}<1009$
Ta xét hàm số: $f(x)=\frac{2020x^{2}-2019}{2\left ( x^{2}+1 \right )}, \forall 0<x<1009$
Khi đó: $f(x)=1010-\frac{4039}{2\left ( x^{2}+1 \right )}$$\Rightarrow f^{'}(x)=\frac{4039x}{(x^{2}+1)^{2}}>0,\forall 0<x<1009$
Vậy $f$ đồng biến trên $(0;1009)$
Dễ thấy $(x_{n})$ là dãy số tăng ngặt mà bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn
Giả sử $limx_{n}=L; (0<L<1009)$ đến đây giải phương trình giới hạn ta tính được $L$ ( hình như số lẻ :v )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 12-06-2019 - 20:08
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh