Chủ đề này có 2 trả lời

[Ispectorgadget]

Với mọi $(m,n) \in \mathbb{N}^2$ và mọi $(x,y) \in \mathbb{C}^2$ sao cho $x+y=1$. Chứng minh:

$$x^{m+1}\sum_{k=0}^{n}y^kC^k_{m+k}+y^{n+1}\sum_{l=0 }^{m}x^lC^l_{n+l}=1$$

[gogo123]

Mình tìm được lời giải cho bài này rồi, nhưng mĩnh nghĩ Ispectorgadget có sai sót trong đề.Phải là
$x^{m+2}\sum_{k=0}^{n}y^kC^k_{m+k}+y^{n+2}\sum_{l=0 }^{m}x^lC^l_{n+l}=1$

[gogo123]

Lời giải:
Xét đa thức $f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\left (x^{m+2}.\sum_{k=0}^{n}y^k.\binom{m+k}{k} \right )t^n$
Ta có:
$f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\left (x^{m+2}.\sum_{k=0}^{n}y^k.\binom{m+k}{k} \right )t^n$
$=x^{m+2}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}y^k.\binom{m+k}{k} t^n$
$=x^{m+2}\sum_{k=0}^{\infty}y^k.\binom{m+k}{k} \sum_{n=0}^{\infty} t^n$
$=\frac{x^{m+2}}{1-t}\sum_{k=0}^{\infty}y^k.\binom{m+k}{k}$
$=\frac{x^{m+2}}{1-t}.\frac{1}{(1-y)^{m+1}}=\frac{x^{m+2}}{1-t}.\frac{1}{x^{m+1}}=\frac{x}{1-t}$
Suy ra hệ số của $t^n$ trong khai triển $f(t)$ là $x$.
Tương tự với phần còn lại ,ta có kết quả:
$S=x^{m+2}\sum_{k=0}^{n}y^k.\binom{m+k}{k}+y^{n+2}.\sum_{l=0}^{m}x^l.\binom{n+l}{l}=x+y=1$