Chủ đề này có 5 trả lời

[tramyvodoi]

Cho $a, b, c \geq 1$.
Chứng minh rằng :
$\sum \frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2}} \geq \sum \frac{a}{b + c}$.

[banhgaongonngon]

Cho $a, b, c \geq 1$.
Chứng minh rằng :
$\sum \frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2}} \geq \sum \frac{a}{b + c}$.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c\geq 1$ $(*)$
Ta có

$\left\{\begin{matrix} \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}\geq \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(a+c)(a^{2}+c^{2})}\\ \\\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc(b-c)-ab(a-b)}{(a+c)(a^{2}+c^{2})} \\ \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac(c-a)+bc(c-b)}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{ac(c-a)+bc(c-b)}{(a+c)(a^{2}+c^{2})} \end{matrix}\right.$

Từ đó suy ra $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\sum \frac{a}{b+c}\geq 0$

__________________________________________

Không biết em làm đúng không nữa ! Chưa áp dụng đến điều kiện $a,b,c\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 18-01-2013 - 20:03

[banhgaongonngon]

Chỗ cuối trong ngoặc nhọn của bạn ngược dấu rồi thì phải!!

Hình như không chứ
Vì $\left\{\begin{matrix} (a+b)(a^{2}+b^{2})\geq (a+c)(a^{2}+c^{2})>0\\ ac(c-a)+bc(c-b)\leq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{ac(c-a)+bc(c-b)}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{ac(c-a)+bc(c-b)}{(a+c)(a^{2}+c^{2})}$
Đúng không nhỉ?

[huytrandinhshadow]

Bất đẳng thức trên đúng cho mọi a,b,c dương nên đk trên không ảnh hưởng gì đến bài toán

[vutuanhien]

Bài toán tổng quát: Nếu $m\geq n> 0$ thì$\sum \frac{a^m}{b^m+c^m}\geq \sum \frac{a^n}{b^n+c^n}$

[KietLW9]

Ta có: $VT-VP=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum_{cyc}^{cyc}\frac{bc(b-c)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)}\geq 0(Q.E.D)$