$\sum \frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2}} \geq \sum \frac{a}{b + c}$
#1
Đã gửi 18-01-2013 - 19:37
Chứng minh rằng :
$\sum \frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2}} \geq \sum \frac{a}{b + c}$.
#2
Đã gửi 18-01-2013 - 19:48
Cho $a, b, c \geq 1$.
Chứng minh rằng :
$\sum \frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2}} \geq \sum \frac{a}{b + c}$.
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c\geq 1$ $(*)$
Ta có
$\left\{\begin{matrix} \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}\geq \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(a+c)(a^{2}+c^{2})}\\ \\\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc(b-c)-ab(a-b)}{(a+c)(a^{2}+c^{2})} \\ \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac(c-a)+bc(c-b)}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{ac(c-a)+bc(c-b)}{(a+c)(a^{2}+c^{2})} \end{matrix}\right.$
Từ đó suy ra $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\sum \frac{a}{b+c}\geq 0$__________________________________________
Không biết em làm đúng không nữa ! Chưa áp dụng đến điều kiện $a,b,c\geq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 18-01-2013 - 20:03
- mango, DarkBlood và tramyvodoi thích
#3
Đã gửi 18-01-2013 - 20:12
Chỗ cuối trong ngoặc nhọn của bạn ngược dấu rồi thì phải!!
Hình như không chứ
Vì $\left\{\begin{matrix} (a+b)(a^{2}+b^{2})\geq (a+c)(a^{2}+c^{2})>0\\ ac(c-a)+bc(c-b)\leq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{ac(c-a)+bc(c-b)}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{ac(c-a)+bc(c-b)}{(a+c)(a^{2}+c^{2})}$
Đúng không nhỉ?
- tramyvodoi yêu thích
#4
Đã gửi 22-01-2013 - 20:18
#5
Đã gửi 24-01-2013 - 09:35
- chuyentoan1998 yêu thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#6
Đã gửi 28-03-2021 - 16:23
Ta có: $VT-VP=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum_{cyc}^{cyc}\frac{bc(b-c)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)}\geq 0(Q.E.D)$
- alexander123 yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh