Chủ đề này có 5 trả lời

[namcpnh]

Cho dãy số $\left\{\begin{matrix}
u_1=1,u_2=1\\
u_n=\frac{u_{n-1}^2+2}{u_{n-2}}
\end{matrix}\right.$.

Tìm $u_n$

Thiếu tí

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namheo1996: 31-01-2013 - 17:54

[Sagittarius912]

Cho dãy số $\left\{\begin{matrix}
u_1=1\\
u_n=\frac{u_{n-1}^2+2}{u_{n-2}} (*)
\end{matrix}\right.$.

Tìm $u_n$
@Dark templar: Bài này thiếu $u_2$ thì làm sao xác định được dãy số ?

hình như thiếu $u_{2}$ thì phải, bạn thêm vào đi nha
Từ (*) ta có
$u_{n}.u_{n-2}=u_{n-1}^{2}+2$ (1)
và
$u_{n+1}.u_{n-1}=u_{n}^{2}+2$ (2)
Trừ (1) cho (2) ta có:
$u_{n}.(u_{n}+u_{n-2})=u_{n-1}(u_{n+1}+u_{n-1})$
$\Rightarrow \frac{u_{n}}{u_{n+1}+u_{n-1}}=\frac{u_{n-1}}{u_{n}+u_{n-2}}$
Đặt
$v_{n}=\frac{u_{n-1}}{u_{n}+u_{n-2}}$
suy ra
$v_{n+1}=v_{n}$
=> $v_{n}$ là hàm hằng =>...

[VNSTaipro]

Đặt
$v_{n}=\frac{u_{n-1}}{u_{n}+u_{n-2}}$

Chỗ này phải đặt $v_{n}=\frac{u_{n+1}}{u_{n+2}+u_{n}}$

_______________________________________________________________________________________
(Lớp 10 học dãy số rồi à em)

[Sagittarius912]

Chỗ này phải đặt $v_{n}=\frac{u_{n+1}}{u_{n+2}+u_{n}}$

_______________________________________________________________________________________
(Lớp 10 học dãy số rồi à em)

dạ ^^, cũng mới bắt đầu học thôi a

[snowwhite]

hình như thiếu $u_{2}$ thì phải, bạn thêm vào đi nha
Từ (*) ta có
$u_{n}.u_{n-2}=u_{n-1}^{2}+2$ (1)
và
$u_{n+1}.u_{n-1}=u_{n}^{2}+2$ (2)
Trừ (1) cho (2) ta có:
$u_{n}.(u_{n}+u_{n-2})=u_{n-1}(u_{n+1}+u_{n-1})$
$\Rightarrow \frac{u_{n}}{u_{n+1}+u_{n-1}}=\frac{u_{n-1}}{u_{n}+u_{n-2}}$
Đặt
$v_{n}=\frac{u_{n-1}}{u_{n}+u_{n-2}}$
suy ra
$v_{n+1}=v_{n}$
=> $v_{n}$ là hàm hằng =>...

Rốt cuộc cttq của nó là gì?
Tớ có cách này có bộ dễ hiểu nek
Trước tiên ta có $u_3=3,u_4=11,u_5=41$. Giả sử $u_n= xu_{n-1}+yu_{n-2}+z$. Thay giá trị của $u_3=3,u_4=11,u_5=41$ vào ta có hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{1} x+y+z=3 \\ 3x+y+z=11 \\ 11x+3y+z=41 \end{array}\right.$

=> $\left\{\begin{array}{l} x= 4 \\ y =-1 \\z = 0 \end{array}\right.$
=>$u_n = 4u_{n-1}-u_{n-2}$
Đến đây dễ rồi chỉ việc xét pt đặc trưng $x^2-4x+1=0$
Pt này có 2 nghiệm là $2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}$
Từ đó => CTTQ $u_n = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}(2-\sqrt{3})^{n-1}+ \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}(2+\sqrt{3})^{n-1}$

[Sagittarius912]

Rốt cuộc cttq của nó là gì?
Tớ có cách này có bộ dễ hiểu nek
Trước tiên ta có $u_3=3,u_4=11,u_5=41$. Giả sử $u_n= xu_{n-1}+yu_{n-2}+z$. Thay giá trị của $u_3=3,u_4=11,u_5=41$ vào ta có hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{1} x+y+z=3 \\ 3x+y+z=11 \\ 11x+3y+z=41 \end{array}\right.$

=> $\left\{\begin{array}{l} x= 4 \\ y =-1 \\z = 0 \end{array}\right.$
=>$u_n = 4u_{n-1}-u_{n-2}$
Đến đây dễ rồi chỉ việc xét pt đặc trưng $x^2-4x+1=0$
Pt này có 2 nghiệm là $2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}$
Từ đó => CTTQ $u_n = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}(2-\sqrt{3})^{n-1}+ \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}(2+\sqrt{3})^{n-1}$

bước sau cái ... đó là bước mà bạn đang trình bày đấy ( $\frac{u_{n-1}}{u_{n}+u_{n-2}}=t$; t là 1 số nào đó, thay các giá trị của U sẽ tìm đc t)
sau đó giải pt đặc trưng thôi ^^
Cách bạn đơn giản dễ hiểu nhưng nếu gặp các trường hợp khác thì sẽ khó mà áp dụng;^^