Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng : $b$ $\not{\vdots}$ $6$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Darmstadt - Germany
  • Sở thích:Guitar, Bóng đá

Đã gửi 20-01-2013 - 04:52

Cho $n$ là một số nguyên dương và $b$ là số nguyên lớn nhất mà bé hơn $\left( \sqrt[3]{28} - 3 \right)^{-n}$. Chứng minh rằng $b$ không chia hết cho $6$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-01-2013 - 17:38

The only way to learn mathematics is to do mathematics

#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4464 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 22-01-2013 - 23:00

$n=1 \Rightarrow b=0$?
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#3 lovesmaths

lovesmaths

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết

Đã gửi 23-01-2013 - 04:52

$n=1 \Rightarrow b=0$?


Tính nhầm rồi bạn :D

#4 chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Darmstadt - Germany
  • Sở thích:Guitar, Bóng đá

Đã gửi 25-01-2013 - 03:31

cũng có 249 lượt người xem rồi mà không thấy có ai có ý kiến gì. Mình xin đưa ra lời giải:

Xét số phức $\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ là căn bậc ba của đơn vị thoả mãn $\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$, $\omega^3=1$ và $\omega^2 + \omega +1 =0$. Đặc biệt ta có $1+\omega^j + \omega^{2j} = 3$ với $j$ chia hết cho $3$ và bằng $0$ trong các trường hợp còn lại (1).
Đặt $r_k = \sqrt[3]{28}\omega^k$ với $k=0,1,2$. Theo định nghĩa của $b$ thì ta có $\left| r_0^{-n} - b \right| < 1$. Phần thực của $\omega$ và $\omega^2$ là âm nên $\left| r_1 \right| > 1$ và $\left| r_2 \right| > 1$. Do đó:
$\left| b - \left( r_0^{-n} + r_1^{-n} + r_2^{-n} \right) \right| < \left| b-r_0^{-n} \right| + \left| r_1^{-n} \right| + \left| r_2^{-n} \right| < 3$ (2)
Do $\left( \sqrt[3]{28}\omega^k \right)^3 = 28$ nên
$r_k^{-1} = \frac{1}{\sqrt[3]{28}\omega^k - 3} = \frac{\left( \sqrt[3]{28}\omega^k \right)^3 - 3^3}{\sqrt[3]{28}\omega^k - 3} = \sqrt[3]{28}^2\omega^{2k} + 3\sqrt[3]{28}\omega^k + 9$
Luỹ thừa đa thức $X^2 + 3X + 9$ với $n$ ta có các số nguyên $c_0,\dots,c_{2n}$ với
$\left( X^2 + 3X + 9 \right)^n = c_{2n}X^{2n}+\cdots + c_0$
Và ở đây $c_0 = 9^n$ là một số lẻ. Thế $X = \sqrt[3]{28}\omega^k$ ta có
$r_k^{-n} = \sum_{j=0}^{2n}{c_j\sqrt[3]{28}^j\omega^{kj}}$
Kết hợp với (1) ta có:
$r_0^{-n} + r_1^{-n} + r_2^{-n} = \sum_{j=0}^{2n}{c_j\sqrt[3]{28}^j\left( 1 + \omega^j + \omega^{2j} \right)} = 3\sum_{0\leq l\leq \frac{2n}{3}}{c_{3l}28^l}$
Tổng này rõ ràng là một bội số của $3$ và là số lẻ. Nếu như $b$ chia hết cho $6$, thì $\left| b - \left( r_0^{-n} + r_1^{-n} + r_2^{-n} \right) \right|$ có giá trị bé nhất là $3$, mâu thuẫn với (2).
Từ đó ta có điều phải chứng minh$\blacksquare$
The only way to learn mathematics is to do mathematics

#5 ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đang ở ẩn

Đã gửi 01-02-2013 - 15:14

Đây là lời giải khác http://gg.gg/19jw

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh