Chủ đề này có 1 trả lời

[phudinhgioihan]

Góp vui một bài, không biết đã từng xuất hiện trên VMF chưa ?

Với $(n,k,m) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$, đặt $S_k(n)=1+2^k+...+n^k$

Chứng minh: $$1+\sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} S_k(n)=(n+1)^m$$

Chủ yếu là có một công thức truy hồi để tính $S_k(n)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 21-01-2013 - 15:23

[gogo123]

Góp vui một bài, không biết đã từng xuất hiện trên VMF chưa ?

Với $(n,k,m) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$, đặt $S_k(n)=1+2^k+...+n^k$

Chứng minh: $$1+\sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} S_k(n)=(n+1)^m$$

Bài này giải như sau:
Vế trái được viết lại thành
$S=1+\sum_{k=0}^{m-1}\binom{m}{k}S_k(n)$
$=1+\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=0}^{m-1}\binom{m}{k}i^k$
$=1+\sum_{i=1}^{n}\left ( (i+1)^k-i^k \right )=(n+1)^n$
đpcm