Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Duc Thuan]

Cho a,b,c>0 t/m ab+bc+ca=3. CMR:
$\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\geq 6$
( Tuyển sinh CHV Phú Thọ 2012-2013)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 21-01-2013 - 18:30

[Sagittarius912]

Cho a,b,c>0 t/m ab+bc+ca=3. CMR:
$\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\geq 6$
( Tuyển sinh CHV Phú Thọ 2012-2013)

Sử dụng kĩ thuật AM-GM ngược dấu:
$\sum \frac{1+3a}{1+b^{2}}= \sum [(1+3a)-\frac{b^{2}(1+3a)}{b^{2}+1}]\geq \sum [(1+3a)-\frac{b^{2}(1+3a)}{2b}]= \sum [(1+3a)-\frac{b(1+3a)}{2}]$
kết hợp vs bdt sau
$(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow a+b+c\geq 3$
ta sẽ có dpcm
Dấu = khi $a=b=c=1$

[ducthinh26032011]

Cho a,b,c>0 t/m ab+bc+ca=3. CMR:
$\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\geq 6$
( Tuyển sinh CHV Phú Thọ 2012-2013)

$VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}$
Xét:
$A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}=\sum (3a-\frac{3ab^{2}}{1+b^2})\geq \sum (3a-\frac{3ab}{2})$
$B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\sum (1-\frac{b^{2}}{1+b^2})\geq \sum (1-\frac{b}{2})$
$VT=A+B\geq 3+\frac{5}{2}(a+b+c)-\frac{3}{2}\sum ab=\frac{5}{2}(a+b+c)-\frac{3}{2}\geq \frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6$
Vì $a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}= 3$