Bài toán: Tìm tất cả các đa thức $P\left ( x \right )$ biết $\left ( x+2 \right )P\left ( x-1 \right )+4x^{3}+8x^{2}=xP\left ( x+1 \right ), \ \ \forall x\in \mathbb{R}$.
#1
Đã gửi 21-01-2013 - 18:34
L Lawliet
-
- Thành viên
-
- 1624 Bài viết
Tiểu Linh
#2
Đã gửi 15-02-2013 - 14:08
nguyenthehoan
-
- Thành viên
-
- 392 Bài viết
Sĩ quan
Từ đề bài cho $x=-2$ ta có $P(-1)=0$
Do đó $P(x)=(x+1)Q(x).$
thay vào đề ta có
$x(x+2)Q(x-1)+4x^{2}(x+2)=x(x+2)Q(x+1)$ với mọi $x$
hay $Q(x+1)-Q(x-1)=4x$
$$\Leftrightarrow Q(x+1)-(x+1)^{2}=Q(x-1)-(x-1)^{2}$$
$$\Rightarrow \text{đa thức} R(x)=Q(x)-x$^{2}$$
thoả mãn
$R(x)=R(x+2)=R(x+4)=.....$
Hay $R(x)=a (a\in \mathbb{R})$
Suy ra $Q(x)=x^{2}+a.$
Vậy $P(x)=(x+1)(x^{2}+a)$
Do đó $P(x)=(x+1)Q(x).$
thay vào đề ta có
$x(x+2)Q(x-1)+4x^{2}(x+2)=x(x+2)Q(x+1)$ với mọi $x$
hay $Q(x+1)-Q(x-1)=4x$
$$\Leftrightarrow Q(x+1)-(x+1)^{2}=Q(x-1)-(x-1)^{2}$$
$$\Rightarrow \text{đa thức} R(x)=Q(x)-x$^{2}$$
thoả mãn
$R(x)=R(x+2)=R(x+4)=.....$
Hay $R(x)=a (a\in \mathbb{R})$
Suy ra $Q(x)=x^{2}+a.$
Vậy $P(x)=(x+1)(x^{2}+a)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-02-2013 - 10:32
$LaTeX$ Fixed
- perfectstrong và yeutoan11 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
