Chủ đề này có 3 trả lời

[tramyvodoi]

Tìm tất cả các hàm f $R\rightarrow R$ thỏa:
$f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$

[zorrono1]

$f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$ (1)

Thay y=1 vào (1), ta được:

$f(0)=f(x)f(0)-f(x)+1$
$\Leftrightarrow (f(0)-1)(f(x)-1)=0$

Trường hợp 1:$f(x)=1 \forall x\in R$

Trường hợp 2: $f(0)=1$
Thay y=-x vào (1), ta được:

$f(-x^{2})=f(x)f(-x)$
$\Leftrightarrow f(ab)=f(a)f(b)$ trong đó a=x b=-x

Đây là hàm quen thuộc => $f(x)=e^{a.lnx}$ $a \in R$

Kết luận
. $f(x)\equiv 1$
. $f(x)=e^{a.lnx}$ a tùy ý

[nguyenthehoan]

bạn nhầm rồi kìa.f(a)f(b)=f(ab) không phải với mọi a,b mà chỉ với a=-b thôi mà...

[Idie9xx]

Tìm tất cả các hàm f $R\rightarrow R$ thỏa:
$f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$

Đặt $g(x)=f(x)-1$ có $g(x+y)+g(xy)=g(x)+g(y)+g(x)g(y),(*)$ và $g(1)=a$

Với $P(x,y)$ có tính chất $g(x+y)+g(xy)=g(x)+g(y)+g(x)g(y)$

$P(0,0)\Rightarrow g(0)=0$

$P(1,-1)\Rightarrow a(g(-1)+1)=0$

Với $a=0$

$P(x-1,1)\Rightarrow g(x)=0\Rightarrow f(x)=1,\forall x\in \mathbb{R}$

Với $g(-1)=-1,a\neq 0$

$P(x,1)\Rightarrow g(x+1)=a(g(x)+1)$

$\Rightarrow g(x-1)=\dfrac{g(x)}{a}-1$

$P(x,x)\Rightarrow g(2x)+g(x^2)=2g(x)+(g(x))^2,(1)$

Chú ý ta có $(*)\Leftrightarrow g(x+y)+g(xy)=(g(x)+1)(g(y)+1)-1$

$P(x+1.x-1)\Rightarrow g(2x)+g(x^2-1)=(g(x+1)+1)(g(x-1)+1)-1$

$\Rightarrow g(2x)+\dfrac{g(x^2)}{a}-1=(ag(x)+a+1)\dfrac{g(x)}{a}-1$

$\Rightarrow g(2x)+\dfrac{g(x^2)}{a}=(g(x))^2+g(x)+\dfrac{g(x)}{a},(2)$

Lấy $(1)-(2)$ có $(g(x^2)-g(x))(1-\dfrac{1}{a})=0$

Với $g(x^2)=g(x)\Rightarrow g(x)=g(-x)$

$P(x,-x)\Rightarrow g(-x^2)=g(x)+g(-x)+g(x)g(-x)$

$\Rightarrow g(x^2)=2g(x)+(g(x))^2\Rightarrow (g(x))^2+g(x)=0$

Kết hợp với $(1)\Rightarrow g(2x)=0$ mâu thuẫn với $g(1)=a\neq 0$

Nên $a=1\Rightarrow g(x-1)=g(x)-1$

$P(x,-1)\Rightarrow g(x-1)+g(-x)=g(x)+g(-1)+g(x)g(-1)$

$\Rightarrow g(x)+g(-x)=0\Rightarrow g(-x)=-g(x)$

$P(-x,-y)\Rightarrow g(-x-y)+g(xy)=g(-x)+g(-y)+g(-x)g(-y),(3)$

Lấy $\dfrac{(*)+(3)}{2}$ có $g(xy)=g(x)g(y)$

$\Rightarrow g(x+y)=g(x)+g(y)$

Từ đó tìm được $g(x)=x\Rightarrow f(x)=x+1$

Vậy ta có hai hàm thỏa đề bài là $f(x)=1$ và $f(x)=x+1$