Chủ đề này có 2 trả lời

[Forgive Yourself]

Có tồn tại số tự nhiên được tạo bởi chữ số $0$ và chữ số $1$ là bội của $2013$ không? Nếu có hãy tìm số đó.

[Zaraki]

Có tồn tại số tự nhiên được tạo bởi chữ số $0$ và chữ số $1$ là bội của $2013$ không? Nếu có hãy tìm số đó.

PP. Chỉ mới chứng minh được là tồn tại số như vậy, nhưng chưa đoán ra là số nào.

Lời giải. Xét $2014$ số $1,11,111, \cdots , \underbrace{11 \cdots 1}_{2014}$. Lấy $2014$ số này chia cho $2013$ thì nhận được $2013$ số dư là $\{ 0;1; \cdots ; 2012 \}$. $2014$ số mà chỉ nhận được $2013$ giá trị nên chắc chắn tồn tại hai số có cùng số dư (theo nguyên lí Dirichlet).
Gọi hai số đó là $\underbrace{11 \cdots 1}_{n \ \text{số}}$ và $\underbrace{ 11 \cdots 1}_{m \ \text{số}}$ với $m,n \in \mathbb{N}^*, m >n$. Khi đó thì $$\begin{array}{l} \underbrace{ 11 \cdots 1}_{m \ \text{số}} - \underbrace{11 \cdots 1}_{n \ \text{số}} \ \vdots 2013 \\ \Rightarrow \underbrace{11 \cdots 1}_{m-n \ \text{số}} \underbrace{00 \cdots 0}_{n \ \text{số}} \ \vdots 2013 \end{array}$$
Vậy tồn tại một số được tạo bởi các chữ số $0$ và $1$ mà chia hết cho $2013$. $\square$

Còn về cách tìm số đó, mình nghĩ thế này. Phân tích $2013=3 \cdot 61 \cdot 11$. Do đó để tìm một số gồm chữ số $1$ và $0$ chia hết cho $2013$ thì chúng phải chia hết cho $3$ và $11$.
Tức là tổng các chữ số $1$ là số chia hết cho $3$ mà hiệu các chữ số ở hàng chẵn với hiệu các chữ số hàng lẻ chia hết cho $11$. Tuy nhiên, mặc dù biết vậy nhưng vẫn khá là ... bí.

[Zaraki]

Bây giờ nghĩ mới ra
Xét một số bất kì $11 \cdots 100 \cdots 0=11 \cdots 1 \cdot 10^k$.
Hiển nhiên $(10^k,2013)=1$ nên để số này chia hết cho $2013$ thì $11 \cdots 1$ chia hết cho $2013$.
Trước tiên, ta đi tìm số vừa chia hết cho $3$ vừa chia hết cho $61$. Ta tìm được số $111 \ 111 \ 111 \ 111$. Bây giờ ta sẽ thêm các số $0$ đằng sau sao cho nó chia hết cho $11$, ta được số $\boxed{ 111 \ 111 \ 111 \ 111 \ 00}$.