Chủ đề này có 2 trả lời

[Dung Dang Do]

Cho $a,b>0$.CMR:
$$(\frac{a^5+b^5+2}{a+b})^2\ge 4(2\sqrt{ab}-1)(2\sqrt{a}-b)(2\sqrt{b}-a)$$
Cho $a,b,c>0$ $a+b+c=1$CMR
$$\sqrt{3(a^6+b^6+c^6)}\ge\frac{4(ab+bc+ca)-1}{3}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 28-01-2013 - 12:53

[Oral1020]

Mần bài 2 nhé
Theo bất đẳng thức $C-S$,ta có:
$a^6+b^6+c^6 \ge \dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{3}$
$\Longleftrightarrow \sqrt{3(a^6+b^6+c^6)} \ge a^3+b^3+c^3$
Ta sẽ chứng minh:
$a^3+b^3+c^3 \ge \dfrac{4(ab+bc+ac)-1}{3}$
$\Longleftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3) -4(ab+bc+ac)+1 \ge 0$
Ta có:
$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3} \ge (\dfrac{a+b+c}{3})^3$
$\Longleftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3) \ge \dfrac{1}{3}$
Ta lại có: $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac)$
$\Longleftrightarrow -\dfrac{4(a+b+c)^2}{3} \le -4(ab+bc+ac)$
Cộng các bất đẳng thức trên,ta có $\text{đpcm}$

[Dung Dang Do]

Cũng có thể có cách khác như sau.Theo BĐT Cầu Chỳ ta có
$$\sqrt{3(a^6+b^6+c^6)}\ge 3abc$$
$$abc\ge(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2c)(1-2a)(1-2b)=1-2(a+b+c)+4ab+4bc+4ca-8abc$$
$$\iff $\iff 9abc\ge 4(ab+bc+ca)-1\iff 3abc\ge\frac{4(ab+bc+ca)-1}{3}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 28-01-2013 - 12:51