Bài toán:
Ch0 2 đa thức $P$ và $Q$ có hệ số nguyên bậc $n$ và $m$ thỏa mãn:
$$P^2(x)=(x^2-1)Q^2(x)+1$$
Chứng minh rằng $P'(x)=nQ(x)$
#1
Đã gửi 26-01-2013 - 22:48
WhjteShadow
-
- Phó Quản lý Toán Ứng dụ
-
- 1323 Bài viết
Thượng úy
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh
#2
Đã gửi 30-01-2013 - 09:26
reddevil1998
-
- Thành viên
-
- 85 Bài viết
Hạ sĩ
Dễ thấy $P(x)$ và $Q(x)$ là 2 no nguyên dương PT Pell loại 1:
$u^{2}-(x^{2}-1)v^{2}=1$$(1)$
Kết hợp với giả thiết $degP_{n}=n$,suy ra ($(P(x),Q(x))$ là no nguyên dương thứ $n$ của PT$(1)$,và ta có
$P(x)=\frac{(x+\sqrt{x^{2}-1})^{n}+(x-\sqrt{x^{2}-1})^{n}}{2}$
$Q(x)=\frac{(x+\sqrt{x^{2}-1})^{n}-(x-\sqrt{x^{2}-1})^{n}}{2\sqrt{x^{2}-1}}$
Bằng cách lấy đạo hàm trực tiếp,ta có dpcm
$u^{2}-(x^{2}-1)v^{2}=1$$(1)$
Kết hợp với giả thiết $degP_{n}=n$,suy ra ($(P(x),Q(x))$ là no nguyên dương thứ $n$ của PT$(1)$,và ta có
$P(x)=\frac{(x+\sqrt{x^{2}-1})^{n}+(x-\sqrt{x^{2}-1})^{n}}{2}$
$Q(x)=\frac{(x+\sqrt{x^{2}-1})^{n}-(x-\sqrt{x^{2}-1})^{n}}{2\sqrt{x^{2}-1}}$
Bằng cách lấy đạo hàm trực tiếp,ta có dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 30-01-2013 - 11:23
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
