Chủ đề này có 2 trả lời

[backieuphong]

Chung minh vơi moi a,b,c > 0:
$\left (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )^2 +\frac{14abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4$

Mod. Chú ý tiêu đề nhá, vì bạn mới vào diễn đàn nên mình mới nhắc nhở, vi phạm lần nữa sẽ bị khóa topic đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 27-01-2013 - 09:48

[hoangvtvpvn]

Đây là bài thách đấu của TTT số tháng 12 lời giải đăng trên TTT tháng 2

[KietLW9]

Chung minh vơi moi a,b,c > 0:
$\left (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )^2 +\frac{14abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4$

Mod. Chú ý tiêu đề nhá, vì bạn mới vào diễn đàn nên mình mới nhắc nhở, vi phạm lần nữa sẽ bị khóa topic đó.

Lời giải. Đặt 

 

$(\frac{a}{b+c},\frac{b}{c+a},\frac{c}{a+b})\rightarrow (x,y,z)$ 

 

Lúc đó ta có:

$ xy+yz+zx+2xyz=1$ và $x+y+z \geqslant \dfrac{3}{2}(Nesbitt)$

Và bất đẳng thức Schur

$ x^2+y^2+z^2+\dfrac{9xyz}{x+y+z} \ge 2(xy+yz+xz) $

Ta cần chứng minh:

$(x+y+z)^2+14xyz \geqslant 4$

Thật vậy, ta có: 

$(x+y+z)^2+14xyz=x^2+y^2+z^2+6xyz+2(xy+yz+zx)+8xyz\geqslant x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z} +2(xy+yz+zx)+8xyz\geqslant 4(xy+yz+zx)+8xyz=4(Q.E.D)$