Chủ đề này có 1 trả lời

[qwertyuiop]

Cho a,b,c,d dương thỏa:
$abcd=1$
Chứng minh:
$9(a+b+c+d)^4+64(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2+1536\geq 384(a+b+c+d)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})$

(Đẳng cấp)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi qwertyuiop: 31-01-2013 - 22:12

[maitienluat]

Trước tiên ta có BĐT sau :
$$4\left ( \sum ab \right )^{2}\geq 9\left ( \sum a \right )\left ( \sum bcd \right )$$
Ở đây mình phát biểu mà k c/minh. Bạn có thể tìm trong Sáng tạo BĐT của Phạm Kim Hùng, có c/minh trong trường hợp tổng quát (BĐT Newton).
Từ đó BĐT đã cho chỉ là hệ quả của
$$9\left ( \sum a \right )^{4}+1536abcd\geq 240\left ( \sum a \right )\left ( \sum bcd \right )$$
Ta chuẩn hoá $a+b+c+d=4$ và k mất tổng quát giả sử $a\leq c\leq b\leq d$. Ta cần c/minh
$$f(a,b,c,d)=12+8abcd-5(abc+abd+acd+bcd)\geq 0$$
Ta có
$$f(a,b,c,d)-f\left ( a,b,\frac{c+d}{2},\frac{c+d}{2} \right )= \frac{1}{4}(c-d)^{2}(5a+5b-8ab)$$
Mặt khác, để ý rằng $a+b\leq \frac{a+b+c+d}{2}=2$
$$\Rightarrow \frac{5}{a}+\frac{5}{b}\geq \frac{20}{a+b}\geq 10> 8$$
$$\Rightarrow f(a,b,c,d)\geq f\left ( a,b,\frac{c+d}{2},\frac{c+d}{2} \right )$$
Cuối cùng ta chỉ cần c/minh BĐT trong trường hợp $b=c=d=\frac{4-a}{3}$. Ta có:
$$f\left ( a,\frac{4-a}{3},\frac{4-a}{3},\frac{4-a}{3} \right )= (a-1)^{2}(4+40a-8a^{2})\geq 0$$
Hiển nhiên đúng vì $0\leq a\leq 1$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 03-02-2013 - 22:26