Chủ đề này có 5 trả lời

[qwertyuiop]

Cho a,b,c,d dương thoả:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4$
Chứng minh:
$a+b+c+d\leq 3abcd+1$

(Đẹp-pro)

[qwertyuiop]

Ai xử cái bài trên rồi ăn tết nhỉ.
Nhớ trong box này có 1 bài của haisupham mà khi đó phudinhgioihan giải cho. Về phương pháp giải bài đó đặt f(t,t,c,d) gì đó quên rồi. Nếu tìm ra xin Mod chỉ giúp . Đang cần cái đó tham khảo bài giải của phudinhgioihan cho bài đó. Thanhk giúp đở

[maitienluat]

Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c},t=\frac{1}{d}$. Khi đó $x+y+z+t=4$ và ta cần c/minh
$$f(x,y,z,t)=3+xyzt-xyz-xyt-xzt-yzt\geq 0$$
Không mất tổng quát giả sử $x$ là số nhỏ nhất. Khi đó $0\leq x\leq 1$.
Ta có
$$f(x,y,z,t)-f\left ( x,y,\frac{z+t}{2},\frac{z+t}{2} \right )= \frac{1}{4}(x+y-xy)(z-t)^{2}\geq 0$$
nên chỉ cần c/minh trong trường hợp $y=z=t=\frac{4-x}{3}$ với $0\leq x\leq 1$, tức là:
$$3+x\left ( \frac{4-x}{3} \right )^{3}-3x\left ( \frac{4-x}{3} \right )^{2}-\left ( \frac{4-x}{3} \right )^{3}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (x-1)^{2}(17+2x-x^{2})\geq 0$$
Hiển nhiên đúng vì $0\leq x\leq 1$.
C/minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 03-02-2013 - 09:21

[qwertyuiop]

nên chỉ cần c/minh trong trường hợp $y=z=t=\frac{4-x}{3}$

Cái này là sao thế nhỉ. Lẻ ta ta chỉ cần chứng minh khi: $z=t$ thôi chứ .Ở đâu ra thêm $y=z=t$ nửa vậy

[qwertyuiop]

$$ \frac{1}{4}(xy-x-y)(z-t)^{2}\geq 0$$

Còn nửa cái trên sao lớn hơn 0 được nhỉ,

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi qwertyuiop: 03-02-2013 - 09:21

[maitienluat]

Còn nửa cái trên sao lớn hơn 0 được nhỉ,

Mình gõ nhầm, đã sửa. Bạn k tự biến đổi lại à @@

Cái này là sao thế nhỉ. Lẻ ta ta chỉ cần chứng minh khi: $z=t$ thôi chứ .Ở đâu ra thêm $y=z=t$ nửa vậy

Cái này là theo định lý S.M.V. Bạn có thể đọc trong nhiều tài liệu, chẳng hạn Sáng tạo BĐT của Phạm Kim Hùng, có ghi rất đầy đủ