Chủ đề này có 2 trả lời

[Pham The Quang 6c]

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n + 1$ và $n^{3} + 1$ là số chính phương.

[duaconcuachua98]

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n + 1$ và $n^{3} + 1$ là số chính phương.

VÌ $n+1$ và $n^{3}+1$ là 2 số chính phương nên $(n+1)(n^{3}+1)=(n+1)^{2}(n^{2}-n+1)$ là số chính phương
Suy ra $n^{2}-n+1=k^{2}(k\in \mathbb{Z}^{+})$ $(1)$
Ta có $(1)\Leftrightarrow 4n^{2}-4n+4=4k^{2}\Leftrightarrow (2n-1)^{2}-4k^{2}=-3\Leftrightarrow (2n-1-2k)(2n-1+2k)=-3$
Tới đây bạn xét ước của $3$ là được!

[DarkBlood]

VÌ $n+1$ và $n^{3}+1$ là 2 số chính phương nên $(n+1)(n^{3}+1)=(n+1)^{2}(n^{2}-n+1)$ là số chính phương
Suy ra $n^{2}-n+1=k^{2}(k\in \mathbb{Z}^{+})$ $(1)$
Ta có $(1)\Leftrightarrow 4n^{2}-4n+4=4k^{2}\Leftrightarrow (2n-1)^{2}-4k^{2}=-3\Leftrightarrow (2n-1-2k)(2n-1+2k)=-3$
Tới đây bạn xét ước của $3$ là được!

Em nghĩ từ chỗ bôi đỏ chúng ta suy ra $3$ trường hợp:
Trường hợp 1:
$n+1=0$ $\leftrightarrow$ $n=-1,$ loại vì $n$ nguyên dương.
Trường hợp 2:
$n^{2}-n+1=0$ $\Rightarrow \left ( n-\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}=0,$ vô lý.
Trường hợp 3:
$n^{2}-n+1=k^{2}(k\in \mathbb{Z}^{+})$
Giải tương tự như anh duaconcuachua98 ta thấy không có giá trị của $n$ nào thỏa mãn.
Vậy không có số nguyên dương $n$ nào để $n+1$ và $n^3+1$ là số chính phương.