Chủ đề này có 3 trả lời

[chuyentoan]

Gọi $F_n$ và $L_n$ lần lượt là các số Fibonacci và Lucas thứ $n$. Chứng minh rằng với mọi $n\ge 1$

$\frac{1}{2}\left ( F_n^{\frac{1}{F_n}} + L_n^{\frac{1}{L_n}} \right ) \le 2 - \frac{F_{n+1}}{F_{2n}}$

* Các số Fibonacci và Lucas được xác định hồi quy với $a_{n+1}=a_n + a_{n-1}$, trong đó $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $L_0=2$ và $L_1=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyentoan: 04-02-2013 - 18:24

[alex_hoang]

Gọi $F_n$ và $L_n$ lần lượt là các số Fibonacci và Lucas thứ $n$. Chứng minh rằng với mọi $n\ge 1$

$\frac{1}{2}\left ( F_n^{\frac{1}{F_n}} + L_n^{\frac{1}{L_n}} \right ) \le 2 - \frac{F_{n+1}}{F_{2n}}$

* Các số Fibonacci và Lucas được xác định hồi quy với $a_{n+1}=a_n + a_{n-1}$, trong đó $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $L_0=2$ và $L_1=1$

Em thử bon chen tí nhé mọi người
Với $n=1,2,3$ thì BĐT đúng
Với $n>3$ thì
$ y = F_n^{\frac{1}{F_n}} \Rightarrow \ln y = \frac{1}{F_n} \ln F_n $

$\Rightarrow \frac{y^{\prime}}{y} = \frac{-F_n^{\prime}}{(F_n)^2}\ln F_n + \frac{F_n^{\prime}}{(F_n)^2}= \frac{F_n^{\prime}}{(F_n)^2} (1 - \ln F_n) < 0$
\[x = {L_n}^{\frac{1}{{{L_n}}}} \Rightarrow \dfrac{{x'}}{x} = \frac{{ - {L_n}'}}{{{{({L_n})}^2}}}(1 - \ln {L_n}) < 0\]
Ta chứng minh
\[\frac{{{F_{n + 1}}}}{{{F_{2n}}}} < \frac{{{F_n}}}{{{F_{2n - 2}}}} \Leftrightarrow {F_{n + 1}}{F_{2n - 2}} < {F_n}{F_{2n}}\]
Em nghĩ rằng BĐT này đúng nếu thay công thức tổng quát vào khai triển ra theo
\[a = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1}}{a} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 05-02-2013 - 12:00

[chuyentoan]

Em thử bon chen tí nhé mọi người
Với $n=1,2,3$ thì BĐT đúng
Với $n>3$ thì
$ y = F_n^{\frac{1}{F_n}} \Rightarrow \ln y = \frac{1}{F_n} \ln F_n $

$\Rightarrow \frac{y^{\prime}}{y} = \frac{-F_n^{\prime}}{(F_n)^2}\ln F_n + \frac{F_n^{\prime}}{(F_n)^2}= \frac{F_n^{\prime}}{(F_n)^2} (1 - \ln F_n) < 0$
\[x = {L_n}^{\frac{1}{{{L_n}}}} \Rightarrow \dfrac{{x'}}{x} = \frac{{ - {L_n}'}}{{{{({L_n})}^2}}}(1 - \ln {L_n}) < 0\]
Ta chứng minh
\[\frac{{{F_{n + 1}}}}{{{F_{2n}}}} < \frac{{{F_n}}}{{{F_{2n - 2}}}} \Leftrightarrow {F_{n + 1}}{F_{2n - 2}} < {F_n}{F_{2n}}\]
Em nghĩ rằng BĐT này đúng nếu thay công thức tổng quát vào khai triển ra theo
\[a = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1}}{a} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\]

Ý bạn $y$ ở đây là hàm số với biến là $F_n$? Tức là $y\left ( F_n \right ) = F_n^{\frac{1}{F_n}}$?

$F_n'$ có nghĩa là gì? Nếu xem $F_n$ là một hàm số với biến là $n$ thì hàm này không khả vi. Còn nếu xem $F_n$ là biến của hàm số $y$ thì ta có thể viết gọn lại $F_n'$ của bạn là bằng $1$.

Đến đoạn $\frac{y'}{y}<0$ rồi sau đó bạn đưa bất đẳng thức cho các số Fibonacci (cái này mình chưa kiểm chứng lại) rồi bạn làm tiếp thế nào nữa?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyentoan: 05-02-2013 - 20:31

[chuyentoan]

Nói chung ý tưởng làm của bạn là chuẩn rồi. Bạn chỉ nên trình bày rõ ràng rành mạch và đầy đủ hơn thôi. Bất đẳng thức trên là khá lỏng, ta có thể làm chặt nó hơn như sau:

Đặt $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Chứng minh rằng:

$1+2n\frac{\log{\phi}}{L_{2n}}\le \frac{1}{2}\left ( L_{2n}^{\frac{1}{L_{2n}}} +F_{2n}^{\frac{1}{F_{2n}}}\right ) \le 1 + 2n\frac{\log{\phi}}{F_{2n}}$