Chủ đề này có 3 trả lời

[Lnmn179]

Tìm các cặp số nguyên dương x, y thoả mãn $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ là số nguyên và là ước của 2010

[Primary]

Tìm các cặp số nguyên dương x, y thoả mãn $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ (*)
là số nguyên và là ước của 2010

Bài này tương đối khó với THCS. Lời giải có thể như sau:
Đặt $z=\frac{x^2+y^2}{x-y}$ thì $z$ là ước của 2010 và x phải khác y.
Ta có: $2010=2.3.5.67=5n$ với $n=2.3.67$
Gọi $d=(x,y)$ $\Rightarrow$ $x=du;y=dv$, với $(u,v)=1$. Lúc đó:
$(*)\Leftrightarrow d^2(u^2+v^2)=zd(u-v)\Leftrightarrow d(u^2+v^2)=z(u-v)$
Xảy ra 2 trường hợp:
1) $TH_1$: $z$ là ước của $n$.
$\Rightarrow d(u^2+v^2)\vdots z$ nhưng do $(u,v)=1$ nên $(u^2+v^2,z)=1$
$\Rightarrow d\vdots z\Rightarrow t(u^2+v^2)=u-v$ với $d=zt$
$\Rightarrow u^2<u^2+v^2<u-v<u$ (Vô lí!)
2) $TH_2$: $z$ không là ước của n. theo đề bài thì $z=5k,k\in \textbf{U}(n)$
$\Rightarrow d(u^2+v^2)=5(u-v)$. Tương tự $TH_1$ thì $d\vdots z$ nên $d=kt$
Do đó: $t(u^2+v^2)=5(u-v)$ (**)
Do $t\geq 1$ nên từ (**) ta có: $S=u^2+v^2-5(u-v)\leq 0$
Mà: $4S=(2u-5)^2+(2v+5)^2-50\geq 0$
Nên ta có: S=0$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}v=1 & \\ u=3\vee u=2 & \end{matrix}\right.$
Suy ra $t=1$ nên $d=k$
Do vậy $(x,y,z)$ có thể là $(3k,k,5k)$ hoặc $(2k,k,5k)$ với k là ước của 2010

[nguyenta98]

Tìm các cặp số nguyên dương x, y thoả mãn $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ là số nguyên và là ước của 2010

Bài này cũng không hẳn là khó, nó đã có khá lâu rồi
http://diendantoanho...a-la-ước-của-1/

[Primary]

Bạn nên tham khảo qua sách phương trình nghiệm nguyên của giáo sư Phan Huy Khải trang 245 thì sẽ rõ. Bài của bạn đáp số tương tự như bài trên