).Mở đầu bằng bài trong đề VMO:
Bài 1: (Câu 3, VMO 2007)
Cho tam giác ABC có hai đỉnh B,C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H,G lần luợt là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc BC.
Bài làm: Chon hệ trục tọa độ Oxy với O là trung điểm BC và trục Ox là đường thẳng BC.
Đặt $BC=2a>0$. Khi đó các đỉnh B,C có tọa độ là B(-a;0); C(a;0). Giả sử $A(x_0;y_0)$ $y_0\neq 0$. Khi đó tọa độ trực tâm H là $H(x_0;\frac{a^2-b^2}{y_0})$.
Tọa độ trọng tâm là $G(\frac{x_0}{3};\frac{y_0}{3})$.
=>$K(\frac{2x_0}{3};\frac{3a^2-3x_0^2+y_0^2}{6y_0})$
K thuộc BC khi và chỉ khi :$3a^2-3x_0^2+y_0^2=0 <=>\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{3a^2}=1$
Vậy A có quỹ tích là hypebol $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3a^2}=1$ , trừ hai điểm B,C.
Bài 2:Trong mp (P) cho tam giác đều ABC.Tìm quỹ tích I và hằng số $k$ sao cho với mọi đường thẳng (d) đi qua I thì tổng bình phương N các khoảng cách từ A ,B,C đến (d) bằng k.
Bài giải:
Chọn hệ trục Oxy sao cho : B(-1;0), C(1;0) => $A(0;\sqrt{3})$.
Giả sử $I(x_0;y_0)$ => $(d):a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$
Ta có $N=\frac{[-ax_0+b(\sqrt{3}-y_0)]^2+[a(-1-x_0)-by_0]^2+[a(1-x_0)-by_0]^2}{a^2+b^2}=k$
<=>$a^2[x_0^2+(x_0+1)^2+(x_0-1)^2-k]+2ab[x_0(y_0-\sqrt{3})+(x_0+1)y_0+y_0(x_0-1)]+b^2[(y_0-\sqrt{3})^2+2y_0^2-k]=0$ (1)
Để (1) đúng với mọi $a,b$ thì :$\left\{\begin{matrix} x_0^2+(x_0+1)^2+(x_0-1)^2=k\\ (y_0-\sqrt{3})^2+2y_0^2=k\\ x_0(y_0-\sqrt{3})+y_0(x_0+1)+y_0(x_0-1)=0 (2)\end{matrix}\right.$
Từ (2) <=>$\begin{bmatrix} x_0 => y_0=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ y_0=\frac{\sqrt{3}}{3}=>x_0=0 \end{bmatrix}$
Vậy điểm I cần tìm là $I(0; y_0=\frac{\sqrt{3}}{3})$ hay là tâm của ta giác ABC, và k=2
Vài bài tập khác dành cho các bạn:
Bài 3:(VMO 2008)
Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Cho đt (d) vuông góc với AD.Xét M trên (d). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MB và MC. Đt đi qua E , vuông góc với d cắt đt AB tại P, Đt đi qua F , vuông góc với d cắt đt AC tại Q.CMR đt đi qua M vuông góc với với PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi điểm M di đọng trên đt d.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tạ A. Gọi O,I lấn lượt là tâm đường tròn ngoại và nội tiếp của tam giác ABC. Gọi D thuộc AC sao cho ID song song với AB. CM: CI vuông góc với OD.
Bài 5: ( Anh, 19..)
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác ACM. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng GI vuông góc với CM.
