Chủ đề này có 2 trả lời

[tiendatlhp]

Cho dãy số nguyên dương {$a_{n}$} thỏa mãn $a^{2}_{n}> a_{n-1}a_{n+1}$ $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$
Tính$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n^{2}}(\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{2}}+...+\frac{n}{a_{n}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 09-02-2013 - 01:02

[Ispectorgadget]

Cho dãy số nguyên dương {$a_{n}$} thỏa mãn $a^{2}_{n}> a_{n-1}a_{n+1}$ $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$
Tính$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n^{2}}(\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{2}}+...+\frac{n}{a_{n}})$

Lời giải

Ta có dãy $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ là một dãy tăng thực sự.

Thật vậy: nếu tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho ${{a}_{k+1}}\le {{a}_{k}}$ thì do giả thiết ${{a}^{2}}_{k+1}>{{a}_{k}}{{a}_{k+2}}$ ta thu được ${{a}_{k+1}}>{{a}_{k+2}}$ (do ${{a}_{k}}\in \mathbb{N}^*$) và cứ như thế ta được một dãy số nguyên dương giảm thực sự, điều này không thể xảy ra vì dãy $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ là dãy vô hạn.

Do ${{a}_{1}}>{{a}_{0}}\ge 1$ nên theo phương pháp quy nạp ta có ngay ${{a}_{n}}>n{{,}^{{}}}\forall n\in \mathbb{N}^*$ .

Suy ra: \[\dfrac{1}{{{a}_{1}}}+\dfrac{2}{{{a}_{2}}}+...+\dfrac{n}{{{a}_{n}}}<n\]

Đặt $\dfrac{1}{{{n}^{2}}}\left( \dfrac{1}{{{a}_{1}}}+\dfrac{2}{{{a}_{2}}}+...+\dfrac{n}{{{a}_{n}}} \right)={{u}_{n}}$ thì $0<{{u}_{n}}<\dfrac{1}{n}$

Vậy $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{{{n}^{2}}}\left( \dfrac{1}{{{a}_{1}}}+\dfrac{2}{{{a}_{2}}}+...+\dfrac{n}{{{a}_{n}}} \right)=0$ (theo nguyên lí kẹp)

^^~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 09-02-2013 - 01:29

[duong vi tuan]

Lời giải

Ta có dãy $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ là một dãy tăng thực sự.

Thật vậy: nếu tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho ${{a}_{k+1}}\le {{a}_{k}}$ thì do giả thiết ${{a}^{2}}_{k+1}>{{a}_{k}}{{a}_{k+2}}$ ta thu được ${{a}_{k+1}}>{{a}_{k+2}}$ (do ${{a}_{k}}\in \mathbb{N}^*$) và cứ như thế ta được một dãy số nguyên dương giảm thực sự, điều này không thể xảy ra vì dãy $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ là dãy vô hạn.

Do ${{a}_{1}}>{{a}_{0}}\ge 1$ nên theo phương pháp quy nạp ta có ngay ${{a}_{n}}>n{{,}^{{}}}\forall n\in \mathbb{N}^*$ .

Suy ra: \[\dfrac{1}{{{a}_{1}}}+\dfrac{2}{{{a}_{2}}}+...+\dfrac{n}{{{a}_{n}}}<n\]

Đặt $\dfrac{1}{{{n}^{2}}}\left( \dfrac{1}{{{a}_{1}}}+\dfrac{2}{{{a}_{2}}}+...+\dfrac{n}{{{a}_{n}}} \right)={{u}_{n}}$ thì $0<{{u}_{n}}<\dfrac{1}{n}$

Vậy $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{{{n}^{2}}}\left( \dfrac{1}{{{a}_{1}}}+\dfrac{2}{{{a}_{2}}}+...+\dfrac{n}{{{a}_{n}}} \right)=0$ (theo nguyên lí kẹp)

^^~

Anh giải thích rõ hơn đc không , em ko hiểu .

cái chỗ cm nó là dãy tăng em ko hiểu ???? .thank

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 20-02-2013 - 07:51