Chủ đề này có 8 trả lời

[Nhox169]

cho a+b+c = 1 a,b,c là các số thực dương: CMR
$\frac{a^{2}+b}{b+c} +\frac{b^{2}+c}{c+a}+\frac{c^{2}+a}{a+b}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nhox169: 15-02-2013 - 21:32

[Sagittarius912]

cho a+b+c = 1: CMR
$\frac{a^{2}+b}{b+c} +\frac{b^{2}+c}{c+a}+\frac{c^{2}+a}{a+b}\geq 2$

Biến đổi:
$\frac{a^{2}+b}{b+c}+a=\frac{a(a+b+c)+b}{b+c}=\frac{a+b}{b+c}$
tương tự
$\frac{b^{2}+c}{c+a}+b=\frac{b+c}{c+a}$
$\frac{c^{2}+a}{a+b}+c=\frac{c+a}{a+b}$
Ta có
$VT+a+b+c=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}\ge 3$
=> $VT \ge 3-(a+b+c)=2$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[thukilop]

http://diendantoanho...fraca2bbcgeq-2/
Mọi người qua đó thảo luận

[Christian Goldbach]

Đề bài thiếu a,b,c>0 thì phải?

[Oral1020]

Đề bài thiếu a,b,c>0 thì phải?

Thực dương đó bạn

[Christian Goldbach]

Mình nhầm nhìn đề của anh

Sagittarius912 thì chỉ thấy a+b+c=1

[snowwhite]

Cách này thử xem 

$\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}= \frac{1}{2}$

Còn cái này thì hiển nhiên rồi $\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{b+a} \geq \frac{1}{2}$

Cộng 2 vế lại ta có dpcm

[25 minutes]

Cách này thử xem 

$\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}= \frac{1}{2}$

Còn cái này thì hiển nhiên rồi $\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{b+a} \geq \frac{1}{2}$

Cộng 2 vế lại ta có dpcm

Chắc anh nghĩ điều hiển nhiên ở đây là

                          $\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b} \geq \frac{3}{2}$ ạ ?

[snowwhite]

Chắc anh nghĩ điều hiển nhiên ở đây là

                          $\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b} \geq \frac{3}{2}$ ạ ?

ờ, nhầm tí. hihi