Chủ đề này có 2 trả lời

[Phanh]

Cho $a,b,c,d > 0$ thỏa mãn $ab+bc+cd+da=1$
Tìm $\min$ : $\text{P}=\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{a+c+d}+\frac{c^{3}}{a+b+d}+\frac{d^{3}}{a+b+c}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 15-02-2013 - 14:17

[banhgaongonngon]

Cho $a,b,c,d >0$ thỏa mãn $ab+bc+cd+da=1$.
Tìm $\min$ $\text{P}=\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{a+c+d}+\frac{c^{3}}{a+b+d}+\frac{d^{3}}{a+b+c}$.

Cách 1 :
Ta có
$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{18}+\frac{a}{6}+\frac{1}{12}\geq \frac{2a}{3}$.
Lập các bất đẳng thức tương tự ta thu được :
$\text{P}=\sum \frac{a^{3}}{b+c+d}\geq \frac{a+b+c+d-1}{3}$.
Mà $(a+b+c+d)^{2}\geq 4(ab+bc+cd+da)\Rightarrow a+b+c+d\geq 2$.
Từ đó suy ra $\text{P}\geq \frac{1}{3}$.
Cách 2 :
$\text{P}\overset{\text{C - S}}{\geq}\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}{2(ab+bc+cd+da+ac+bd)}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{3}$.
Mặt khác $ab+bc+cd+da\leq \frac{a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}+d^{2}+d^{2}+a^{2}}{2} \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 15-02-2013 - 14:20

[mrjackass]

Cách khac nữa: $a,b,c,d$ vai trò tuơng đương. Giả sử $a \geq b \geq c \geq d$ => $\frac{1}{b+c+d}\geq\frac{1}{c+d+a}\geq\frac{1}{d+a+b}\geq\frac{1}{a+b+c}$
Áp dụng BĐT Chebyshev và C-S:
$4P \geq (a^3+b^3+c^3+d^3)(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{c+d+a}+\frac{1}{d+a+b}+\frac{1}{a+b+c})\geq (a^3+b^3+c^3+d^3)\frac{16}{3(a+b+c+d)}\geq\frac{1}{4}{}(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d)\frac{4}{3(a+b+c+d)}=\frac{16}{3}(a^2+b^2+c^2+d^2) \iff P \geq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2+d^2)$
Mặt khác:
$a^2+b^2 \geq 2ab$
$b^2+c^2 \geq 2bc$
$c^2+d^2 \geq 2cd$
$d^2+a^2 \geq 2da$
=> $a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 1$
=> $P \geq \frac {1}{3}$
Dấu $=$ khi $a=b=c=d=\frac {1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mrjackass: 15-02-2013 - 13:53