Chủ đề này có 12 trả lời

[25 minutes]

Cho các số dương $a,b,c$.
Chứng minh rằng : $\prod (a^2+2)\geq 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ac)$ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 16-02-2013 - 20:27

[babycrazymath]

Bài này rất dễ,tuy nhiên cách của mình có lẽ chưa phải hay nhất, mong m.n góp ý:
Khai triển BĐT, đặt ab=x,bc=y,ca=z,bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :$xyz+2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+8\geq 5(x+y+z)$,dùng cauchy bước đầu, sau đó ta sẽ chưng minh $xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\geq 2(x+y+z)$, chuẩn hóa x+y+z=3, ta cần chứng minh $xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 4$, theo schur VT$\geq \frac{4}{3}(xy+yz+zx)-3+x^{2}+y^{2}+z^{2}= (x+y+z)^{2}-\frac{2}{3}(xy+yz+zx)-3\geq 4\Rightarrow \blacksquare$

[alex_hoang]

Bài này rất dễ,tuy nhiên cách của mình có lẽ chưa phải hay nhất, mong m.n góp ý:
Khai triển BĐT, đặt ab=x,bc=y,ca=z,bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :$xyz+2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+8\geq 5(x+y+z)$,dùng cauchy bước đầu, sau đó ta sẽ chưng minh $xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\geq 2(x+y+z)$, chuẩn hóa x+y+z=3, ta cần chứng minh $xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 4$, theo schur VT$\geq \frac{4}{3}(xy+yz+zx)-3+x^{2}+y^{2}+z^{2}= (x+y+z)^{2}-\frac{2}{3}(xy+yz+zx)-3\geq 4\Rightarrow \blacksquare$

Ý tưởng cơ bản là đúng nhưng cho minh hỏi vặn tý nhé.Dựa vào đâu mà bạn chuẩn hóa $a+b+c=3$ trong khi bất đẳng thức trên không thuần nhất

[babycrazymath]

Ý tưởng cơ bản là đúng nhưng cho minh hỏi vặn tý nhé.Dựa vào đâu mà bạn chuẩn hóa $a+b+c=3$ trong khi bất đẳng thức trên không thuần nhất

Ớ, em thấy có nhiều bài anh Hùng cũng chuẩn hóa khi đến bước đó mà chị, còn am cũng chẳng rõ khi nào là thuần nhất cả, vì theo em cái kia là thuần nhất rồi mà

[babycrazymath]

giải thích hộ mình cái

Vội quá nên quên mất , phải là $xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5\geq 3(x+y+z)$ rồi schur tương tự như cái trên thôi

[alex_hoang]

Ớ, em thấy có nhiều bài anh Hùng cũng chuẩn hóa khi đến bước đó mà chị, còn am cũng chẳng rõ khi nào là thuần nhất cả, vì theo em cái kia là thuần nhất rồi mà

Bài nào.Ở đâu anh Hùng làm như vậy.Em đưa lên được không.Với đề bài như trên anh tin là không thể được đâu em

[babycrazymath]

Bài nào.Ở đâu anh Hùng làm như vậy.Em đưa lên được không.Với đề bài như trên anh tin là không thể được đâu em

Hì, chém chị tí cho vui ấy mà, đây là lời giải đầy đủ của em, theo schur, ta có$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$, dùng cauchy ta có 2abc+1>=$\frac{9abc}{a+b+c}$ suy ra $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$, ta đang cần chứng minh $2abc+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+10\geq 6(a+b+c)$, áp dụng bddt vừa cm, ta chỉ cần chưng minh $(a+b+c)^{2}+9\geq 6(a+b+c)$, đây là hằng đẳng thức, từ đây ta có Đ>P>C>M

[viet 1846]

Ý tưởng cơ bản là đúng nhưng cho minh hỏi vặn tý nhé.Dựa vào đâu mà bạn chuẩn hóa $a+b+c=3$ trong khi bất đẳng thức trên không thuần nhất

:-?? mấy bé bây giờ thấy người ta làm gì thì cũng làm theo cái đó. thực ra chưa hiểu bản chất.

[caophonghoang]

Chuẩn hóa được là do đặt $a= ka'$ b và c tương tự. Do bất đẳng thức thuần nhất nên khi thêm k vào thì giá trị không thay đổi và chúng ta có thể chọn một số k để chuẩn hóa bất kì một đại lượng nào. Còn bất đẳng thức không đồng bậc thì khi thêm k giá trị sẽ thay đổi nên không thể chuẩn hóa. chỉ có thể chuẩn hóa như sau (và một số bđt k thuần nhất của PKH cũng làm như thế):$a+b+c=k, abc=k^{3},.........$

[viet 1846]

Vậy bạn có ủng hộ cách làm đầu tiên của mình không, cái chuẩn hóa a+b+c=3 ấy?

E, làm sai rồi, phải đồng bậc mới chuẩn hóa được.

[25 minutes]

Bất đẳng thức em post ra chỉ mạnh hơn chút bất đẳng thức $\prod (a^2+2) \geq 3(a+b+c)^2$ đã được chứng minh nhiều lần ?

[25 minutes]

Mình cũng nghĩ vậy, thế bài này bạn có làm giống cách 2 của mình k ?

Em thử trình bày cẩn thận xem nào, chứ nói chung chung thì khó cho người đọc lắm ?

[25 minutes]

Đây nó là gộp của 2 cái này nè, sr vì latex của mình bị hỏng

Đây là cách của anh, không cần Schur hay gì khác, thực chất chỉ là AM-GM thông thuộc
Khai triển trực tiếp bđt, ta chỉ cần chứng minh $(abc)^2+8+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq 5(ab+bc+ac)$
Chuyển $(ab,bc,ac)\rightarrow (x,y,z)$, bđt đã cho trở thành $xyz+8+2(x^2+y^2+z^2) \geq 5(x+y+z)$
$\Leftrightarrow 2xyz+16+4(x^2+y^2+z^2) \geq 10(x+y+z)$
Áp dụng AM-GM ta có $x^2+1 \geq 2x\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3 \geq 2(x+y+z)\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)+6 \geq 4(x+y+z)$ (1)
Lại có $x^2+y^2+z^2+2xyz+1 \geq 2(xy+yz+xz)\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)+2xyz+1+9\geq (x+y+z)^2+9 \geq 6(x+y+z)$ (2)
Cộng 2 bđt (1) và (2) ta có ngay đpcm ?