Cho $n$ số thực dương thỏa mãn $x_1+x_2+...+x_n=1$
Chứng minh rằng : $x_1^{n-1}x_2+x_2^{n-1}x_3+...+x_n^{n-1}x_1< \frac{4}{27}$
P/S: Tổng quát hóa cho bài toán $3,4$ biến đã post !!! ?
x_1+x_2+...+x_n=1
Bắt đầu bởi 25 minutes, 15-02-2013 - 22:51
#2
Đã gửi 15-02-2013 - 23:35
Bài này theo em hiểu thì $n\ge 3$Cho $n$ số thực dương thỏa mãn $x_1+x_2+...+x_n=1$
Chứng minh rằng : $x_1^{n-1}x_2+x_2^{n-1}x_3+...+x_n^{n-1}x_1< \frac{4}{27}$
P/S: Tổng quát hóa cho bài toán $3,4$ biến đã post !!! ?
---
Ta sẽ chứng minh mệnh đề mạnh hơn: $(*)$
(Sở dĩ mạnh hơn vì do $x_i\in (0;1)$ nên $x_i^{n-1}\le x_i^2$ )Cho $n$ số thực dương thỏa mãn $x_1+x_2+...+x_n=1$
Chứng minh rằng : $x_1^2x_2+x_2^2x_3+...+x_n^2x_1< \frac{4}{27}$
- Bước khởi đầu quy nạp đã quen thuộc nên em xin không trình bày
- Giả sử mệnh đề $(*)$ đúng với $n$. Ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng với $n+1$, có nghĩa là với $n+1$ số thực dương thỏa mãn $x_1+x_2+...+x_{n+1}=1$, ta phải chứng minh:
$$x_1^2x_2+x_2^2x_3+...+x_n^2x_{n+1}+x_{n+1}^2x_1< \frac{4}{27}\ (1)$$
KMTTQ, giả sử $x_3=max\left\{x_1;x_2;...;x_{n+1}\right\}$, khi đó dễ có:
$$x_1^2x_2+x_2^2x_3+x_{n+1}^2x_1< (x_1+x_2)^2x_3+x_{n+1}^2(x_1+x_2)$$
Mà từ giả thiết quy nạp suy ra:
$$(x_1+x_2)^2x_3+x_3^2x_4+...+x_n^2x_{n+1}+x_{n+1}^2(x_1+x_2)< \frac{4}{27}$$
(Coi $x_1\equiv x_1+x_2$) Nên BĐT $(1)$ được chứng minh. Điều đó có nghĩa mệnh đề $(*)$ cũng đúng với $n+1$
Theo giả thiết quy nạp ... (bla bla)
---
Vấn đề được đặt ra: Liệu ta có thể tạo nên một bài toán tổng quát với $n$ biến, không có điều kiện tổng các biến bằng 1 và là một BĐT không chặt không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 15-02-2013 - 23:35
- yeutoan11 và 25 minutes thích
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh