$\frac{a}{a^2+b^3+c^3}+\frac{b}{b^2+c^3+a^3}+\frac{c}{c^2+a^3+b^3}\geq 1$
$\frac{a}{a^2+b^3+c^3}+\frac{b}{b^2+c^3+a^3}+\frac{c}{c^2+a^3+b^3}\geq 1$
1 Bình chọn
Bắt đầu bởi Joker9999, 16-02-2013 - 14:54
#1
Đã gửi 16-02-2013 - 14:54
Joker9999
-
- Thành viên
-
- 659 Bài viết
Thiếu úy
Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả $a^3+b^3+c^3=a^4+b^4+c^4$. Chứng minh rằng:
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
#2
Đã gửi 16-02-2013 - 15:34
maitienluat
-
- Thành viên
-
- 182 Bài viết
Trung sĩ
Bài này từng có trên diễn đàn rồi thì phải :|
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và giả thiết ta có:
$VT=\sum \frac{a^{2}}{a^{3}+ab^{3}+ac^{3}}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\sum a^{3}+\sum a(b^{3}+c^{3})}= \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\sum a^{4}+\sum a(b^{3}+c^{3})}= \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\left ( \sum a \right )\left ( \sum a^{3} \right )}= \frac{\sum a}{\sum a^{3}}$
Theo BĐT Holder thì
$\left ( \sum a \right )\left ( \sum a^{4} \right )^{2}\geq \left ( \sum a^{3} \right )^{3}$
Suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và giả thiết ta có:
$VT=\sum \frac{a^{2}}{a^{3}+ab^{3}+ac^{3}}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\sum a^{3}+\sum a(b^{3}+c^{3})}= \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\sum a^{4}+\sum a(b^{3}+c^{3})}= \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\left ( \sum a \right )\left ( \sum a^{3} \right )}= \frac{\sum a}{\sum a^{3}}$
Theo BĐT Holder thì
$\left ( \sum a \right )\left ( \sum a^{4} \right )^{2}\geq \left ( \sum a^{3} \right )^{3}$
Suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
- WhjteShadow, mbrandm, Joker9999 và 1 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
