Chủ đề này có 5 trả lời

[Joker9999]

Học pt hàm chán quay sang mấy bài BDT cho vui
Bài toán 1: Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có $2$ số nào đồng thời bằng $0$. Chứng minh rằng:

$\frac{ab}{a^2+4b^2}+\frac{bc}{b^2+4c^2}+\frac{ac}{c^2+4a^2}\leq \frac{3}{5}$

Bài toán 2:Cho các số thực không âm $a,b,c$ không có $2$ số nào đồng thời bằng $0$. Chứng minh rằng:

$\frac{(a-b)(3a-b)}{3a^2+2ab+3b^2}+\frac{(b-c)(3b-c)}{3b^2+2bc+3c^2}+\frac{(c-a)(3c-a)}{3c^2+2ac+3a^2}\geq 0$

[dtvanbinh]

cho em giải bài 1
+) nếu có 1 số =0 bài toán c/m dễ
+) nếu không có số nào bằng không đặt x=a/b y=b/c z=c/a
ta có xyz=1
giả sử x<=y<=z suy ra x<=1
VT=f(x) vì x<=1 nên f'(x)>0
suy ra f(x)<=f(y)=2/(y+4/y) +1/(z+4/z) với yz=1
nên VT<=3/(y+4/y) với y<=1
ta có dpcm

[nguyenthehoan]

1.nếu có 1 số bằng 0.ta có ngay dpcm.
ngược lại
ta phải cm với xyz=1 thì$\sum \frac{x}{x^{2}+4}\leq \frac{3}{5}$
giả sử x$\geq y\geq z$
trước hết ta chứng minh với xy$\in \left [ 1;12+2\sqrt{8} \right ]$ thì
$\frac{x}{x^{^{2}}+4}+\frac{y}{y^{2}+4}\leq \frac{2\sqrt{xy}}{xy+4}$
biến đổi tương đương thành
$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}(x^{2}y^{2}+16-8\sqrt{xy}(x+y+\sqrt{xy}))\leq 0\Leftrightarrow x^{2}y^{2}+16-8\sqrt{xy}(x+y+\sqrt{xy})\leq 0$.theo côsi x+y$\geq 2\sqrt{xy}$.kết hợp với khoảng đang xét ta có dpcm.
đến đây ta phải cm$\frac{2\sqrt{xy}}{xy+4}+\frac{z}{z^{2}+4}\leq \frac{3}{5}$ với z$\leq 1$
đây đơn giản chỉ là bdt 1 biến.
Xét trường hợp còn lại:xy>$12+2\sqrt{8}$
ta phải cm
$\frac{x}{x^{2}+4}+\frac{y}{y^{2}+4}+\frac{xy}{1+4x^{2}y^{2}}\leq \frac{3}{5}$.
hiển nhiên vì $\frac{x}{x^{2}+4}+\frac{y}{y^{2}+4}\leq \frac{1}{2}$ (côsi) va
$\frac{xy}{4x^{2}y^{2}+1}< \frac{1}{10}$.

[barcavodich]

1.nếu có 1 số bằng 0.ta có ngay dpcm.
ngược lại
ta phải cm với xyz=1 thì$\sum \frac{x}{x^{2}+4}\leq \frac{3}{5}$
giả sử x$\geq y\geq z$
trước hết ta chứng minh với xy$\in \left [ 1;12+2\sqrt{8} \right ]$ thì
$\frac{x}{x^{^{2}}+4}+\frac{y}{y^{2}+4}\leq \frac{2\sqrt{xy}}{xy+4}$
biến đổi tương đương thành
$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}(x^{2}y^{2}+16-8\sqrt{xy}(x+y+\sqrt{xy}))\leq 0\Leftrightarrow x^{2}y^{2}+16-8\sqrt{xy}(x+y+\sqrt{xy})\leq 0$.theo côsi x+y$\geq 2\sqrt{xy}$.kết hợp với khoảng đang xét ta có dpcm.
đến đây ta phải cm$\frac{2\sqrt{xy}}{xy+4}+\frac{z}{z^{2}+4}\leq \frac{3}{5}$ với z$\leq 1$
đây đơn giản chỉ là bdt 1 biến.
Xét trường hợp còn lại:xy>$12+2\sqrt{8}$
ta phải cm
$\frac{x}{x^{2}+4}+\frac{y}{y^{2}+4}+\frac{xy}{1+4x^{2}y^{2}}\leq \frac{3}{5}$.
hiển nhiên vì $\frac{x}{x^{2}+4}+\frac{y}{y^{2}+4}\leq \frac{1}{2}$ (côsi) va
$\frac{xy}{4x^{2}y^{2}+1}< \frac{1}{10}$.

BĐT cần chứng minh phải là $\sum$$\frac{x}{1+4x^2}$$\leqslant$$\frac{3}{5}$ chứ
từ đây chú ý $xyz=1$ nên cần chứng minh
$\sum$$\frac{1}{yz+4x}$$\leqslant$$\frac{3}{5}$
dùngcô si cho mẫu là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 20-02-2013 - 00:04

[nguyenthehoan]

tuỳ theo cách đặt ẩn phụ bạn ạ.mình đặt $x=\frac{a}{b}$ mà

[nguyenthehoan]

à.bạn có chắc dùng côsi cho mẫu là xong???