$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\le \frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}$
#1
Đã gửi 19-02-2013 - 12:20
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\le \frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}$
- Zaraki, IloveMaths và nguyen tien dung 98 thích
#2
Đã gửi 19-02-2013 - 18:27
BĐT$\Leftrightarrow \left [ \frac{2}{(a+b+c)^2}-\frac{1}{3(a^2+ab+b^2)} \right ](a-b)^2+\left [ \frac{2}{(a+b+c)^2}-\frac{1}{3(b^2+bc+c^2)} \right ](b-c)^2+\left [ \frac{2}{(a+b+c)^2}-\frac{1}{3(c^2+ca+a^2)} \right ](c-a)^2\geq 0$Cho $a,b,c>0$. CM
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\le \frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}$
Không mất tính tổng quát, giải sử $a\geq b\geq c$. Dễ dàng chứng minh được $Sa\geq Sc\geq 0$. Nếu $Sb\geq 0$ thì ta suy ra đpcm. Nếu $Sb\leq 0$:Vì $(a-c)^2\leq 2(a-b)^2+2(b-c)^2$ nên $Sa(b-c)^2+Sb(c-a)^2+Sc(a-b)^2\geq (Sa+2Sb)(b-c)^2+(Sb+2Sc)(a-b)^2$. Đến đây ta chỉ cần cm $Sb+2Sc\geq 0$, $Sa+2Sb\geq 0$, xin nhường anh làm nốt
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 19-02-2013 - 19:13
- Zaraki và chuyentoan1998 thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#3
Đã gửi 28-04-2021 - 13:21
Cho $a,b,c>0$. CM
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\le \frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $[2-\frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}]+[2-\frac{(b+c)^2}{b^2+bc+c^2}]+[2-\frac{(c+a)^2}{c^2+ca+a^2}]\leqslant \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+ca+a^2}+\frac{6(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}\geqslant 6$
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: $\frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+ca+a^2}\geqslant \frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}$
Ta cần chứng minh: $\frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}+\frac{6(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}\geqslant 6\Leftrightarrow \frac{4[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}+\frac{4[2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca]}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}\geqslant 8$
Bất đẳng thức cuối đúng theo Cô-si nên ta có điều phải chứng minh.
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh