Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán.
Ch0 hàm số $f \, : \, (0;\infty)\to (0;\infty)$ thỏa mãn điều kiện:
$$f(3x)\geq f\left(\frac{1}{2}f(2x)\right)+2x\, \, \forall x>0$$
Chứng minh rằng $f(x)\geq x\, \forall x>0$
-------
Sr các bạn hqua mình gõ nhầm đề Đã sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 20-02-2013 - 11:53

[Idie9xx]

Bài toán.
Ch0 hàm số $f \, : \, (0;\infty)\to (0;\infty)$ thỏa mãn điều kiện:
$$f(3x)\geq f\left(\frac{1}{2}f(2x)\right)+2x\, \, \forall x>0$$
Chứng minh rằng $f(x)\geq x\, \forall x>0$
-------
Sr các bạn hqua mình gõ nhầm đề Đã sửa

Đặt $f(x)=xg(x)$
Ta có $f(3x) \geq f(\frac{1}{2}\cdot f(2x))+2x=\frac{f(2x)}{2}\cdot \frac{f(\frac{1}{2}\cdot f(2x))}{\frac{1}{2}\cdot f(2x)}+2x$
Chia 2 vế cho $x$
$\Leftrightarrow 3g(3x) \geq g(2x)\cdot g(\frac{1}{2} \cdot f(2x))+2$
Xét dãy $3U_n \geq U^2_{n-1}+2$
Dễ thấy $2 \geq U_n \geq 1$ hay $2x \geq f(x) \geq x$ (dpcm)

[perfectstrong]

Đặt $f(x)=xg(x)$
Ta có $f(3x) \geq f(\frac{1}{2}\cdot f(2x))+2x=\frac{f(2x)}{2}\cdot \frac{f(\frac{1}{2}\cdot f(2x))}{\frac{1}{2}\cdot f(2x)}+2x$
Chia 2 vế cho $x$
$\Leftrightarrow 3g(3x) \geq g(2x)\cdot g(\frac{1}{2} \cdot f(2x))+2$
Xét dãy $3U_n \geq U^2_{n-1}+2$
Dễ thấy $2 \geq U_n \geq 1$ hay $2x \geq f(x) \geq x$ (dpcm)

Giải thích nốt tại sao có $(u_n)$.
Giả thiết tương đương với:
\[
3g\left( x \right) \ge g\left( {2x} \right)g\left( {xg\left( {2x} \right)} \right) + 2,\forall x > 0,\left( 2 \right)
\]
Do $g(x)>0\forall x>0$ nên $\left( 2 \right) \Rightarrow g\left( x \right) > \frac{2}{3},\forall x > 0$.
Thế tiếp vào (2) thì ta có:\[
g\left( x \right) > \frac{1}{3}\left[ {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2 + 2} \right] = \frac{{22}}{{27}} > \frac{2}{3},\forall x > 0
\]
Tiếp tục quá trình vậy, ta sẽ có ý tưởng: Xét dãy $(u_n)$ với $u_1=\dfrac{2}{3}$ và $u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+2}{3}$.
Bằng quy nạp, ta có $0<u_n<1\forall n$. Mà dễ thấy rằng $(u_n)$ tăng nên tồn tại $\lim u_n$ hữu hạn.
Thế vào pt truy hồi, giải ra $\lim u_n=1$.
Mặt khác, bằng quy nạp và từ (2), ta cũng sẽ có $g(x)>u_n\forall n$
$$\Rightarrow g(x)\ge \lim u_n=1 \Rightarrow Q.E.D$$

Bài này có lẽ dựa trên VMO 2003:
Gọi $F$ là tập tất cả các hàm $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ thỏa
\[ f(3x) \ge f(f(2x))+x\,\,\forall x \in \mathbb{R}^+ \]
Tìm số thực $\alpha$ lớn nhất sao cho $$\forall f \in F: f(x) \ge \alpha x\,\,\forall x \in \mathbb{R}^+$$.
Kĩ thuật giải tương tự nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-03-2013 - 22:29