Chủ đề này có 1 trả lời

[VNSTaipro]

Cho $abc+a+c=b$
Tìm Min, Max của $\sum \frac{1}{a^{2}+1}$

[thanhson95]

Cho $abc+a+c=b$
Tìm Min, Max của $S=\sum \frac{1}{a^{2}+1}$

Tồn tại các số $A,B,C\in [0,\frac{\pi}{2}) : a=tanA$, $b=tanB$, $c=tanC$.
Khi đó từ điều kiện $abc+a+c=b$ suy ra $tanA.tanB.tanC+tanA+tanC=tanB$.
Biểu thức trên tương đương với $tanB=tan(A+C)\Rightarrow B=A+C$
Ta có
$S=\sum \frac{1}{a^{2}+1}$
$\Rightarrow S=cos^2A+cos^2B+cos^2C$
$\Leftrightarrow S=cos^2B+\frac{cos2A+cos2C}{2}+1$
$\Leftrightarrow S=cos^2B+cos(A+C).cos(A-C)+1$
$\Leftrightarrow S=cos^2B+cosB.cos(A-C)+1$
Dễ thấy $cos^2B-cosB+1\leq S \leq cos^2B+cosB+1$
Đổi biến $t=cosB$ với $t\in (0;1]$ rồi xét 2 hàm kia là xong nhỉ?