Chủ đề này có 5 trả lời

[loze]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:$xyz=1$.Tìm min:A=$\sum \frac{1}{\sqrt{1+8x}}$

[dark templar]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:$xyz=1$.Tìm min:A=$\sum \frac{1}{\sqrt{1+8x}}$

Xét phép đổi ẩn $(x;y;z) \to \left(\frac{bc}{a^2};\frac{ca}{b^2};\frac{ab}{c^2} \right) \quad (a,b,c>0)$.
Khi đó thì ta phải tìm GTNN của $A=\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}$.

Đặt $B=a(a^2+8bc)+b(b^2+8ac)+c(c^2+8ab)$.

Khi đó theo BĐT Holder :
$$A^2B \ge (a+b+c)^3$$

Mặt khác ,ta dễ dàng thấy :
$$(a+b+c)^3 \ge B=a^3+b^3+c^3+24abc$$

Từ đó,ta có :
$$A^2B \ge (a+b+c)^3 \ge B \iff A \ge 1$$

$A_{\min}=1 \iff a=b=c \iff x=y=z=1$.

**********
Ta xét 1 bài toán tổng quát hơn là tìm hằng số $k$ tốt nhất để BĐT sau luôn đúng :
$$\frac{1}{\sqrt{1+kx}}+\frac{1}{\sqrt{1+ky}}+\frac{1}{\sqrt{1+kz}} \ge \frac{3}{\sqrt{k+1}}$$

[nthoangcute]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:$xyz=1$.Tìm min:A=$\sum \frac{1}{\sqrt{1+8x}}$

Cách khác (áp dụng UCT)
Ta xét hàm số $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+8x}}+\frac{4\sqrt{9}}{81} \ln x$$
Khi đó $$f'(x)=-\frac{4}{\sqrt{(1+8x)^3}}+\frac{4\sqrt{9}}{81 x}$$
$f''(x)=0$ khi và chỉ khi $x=1$ hoặc $x=\frac{25+9\sqrt{33}}{1024}$
Vậy ta được $f(x) \geq \min \{ f(1),f(\frac{25+9\sqrt{33}}{1024}) \}=\frac{1}{3}$
Suy ra $$\frac{1}{\sqrt{1+8x}} \geq \frac{1}{3}-\frac{4\sqrt{9}}{81} \ln x$$
Suy ra $$\sum \frac{1}{\sqrt{1+8x}} \geq 1- \frac{4\sqrt{9}}{81} (\ln x+\ln y+\ln z)=1$$
Suy ra OK

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 26-02-2013 - 20:47

[nthoangcute]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:$xyz=1$.Tìm min:A=$\sum \frac{1}{\sqrt{1+8x}}$

Cách nữa:
Đặt $a=\ln x, b=\ln y,c=\ln z$
Suy ra $a+b+c=0$ và $A=\sum \frac{1}{\sqrt{1+8 e^a}}$
Ta xét hàm $$f(a)=\frac{1}{\sqrt{1+8 e^a}}$$
$$f'(a)=\frac{-4e^a}{\sqrt{(1+8e^a)^3}}<0$$
$$f''(a)=\frac{4e^a(4e^a-1)}{\sqrt{(1+8e^a)^5}}$$
TH1: Nếu trong 3 số $a,b,c$ có đúng 1 số $<-2 \ln 2$ (giả sử là $a$) thì ta có $b+c > 2\ln 2$
$$A(a,b,c) > A(-2\ln 2,b,c) \geq A\left(-2 \ln 2, \frac{b+c}{2}, \frac{b+c}{2} \right) \geq A \left(-2 \ln 2, \ln(2),\ln(2) \right) =\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{7}}$$
TH2: Nếu trong 3 số $a,b,c$ có 2 số $<-2 \ln 2$ (giả sử là $a$ và $b$) thì $c >4 \ln 2$
Suy ra $$A(a,b,c) >A(-2 \ln2, -2 \ln 2, +\infty )=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
TH3: Nếu 3 số $a,b,c$ đều $< -2 \ln 2$ thì vô lý do $a+b+c=0$
TH4: Cả 3 số $a,b,c \geq 2 \ln 2$
Áp dụng Jensen ta được $A(a,b,c) \geq A(0,0,0)=1$
Suy ra điều phải chứng minh

[dtvanbinh]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:$xyz=1$.Tìm min:A=$\sum \frac{1}{\sqrt{1+8x}}$

Holder là hay nhất rồi,em chém cách khác xem sao

giả sử $x\leq y\leq z\Rightarrow x\leq 1$
đặt $f(x)=\sum \frac{1}{\sqrt{1+8x}}$
$f'(x)=-4(1+8x)^{\frac{-3}{2}}\leq 0$
nên $f(x)\geq f(1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{1+8y}}+\frac{1}{\sqrt{1+8z}}=g(y)$
với yz=1
khảo sát hàm 1 biến ta có $Min=1$



Hoặc
đặt $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+8x}}$
ta chứng minh bất đẳng thức
$f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})\geq nf(\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}})$

giả sử bất đẳng thức đúng với n ta chứng minh nó cũng đúng với n-1
lấy $x_{n}=\sqrt[n-1]{x_{1}...x_{n-1}}$
ta có
$f(x_{1})+...+f(x_{n})\geq nf(x_{n})$
nên $f(x_{1})+...+f(x_{n-1})\geq n-1f(x_{n})$
chứng minh xong
áp dụng với n=3 ta có Min=1

[dark templar]

Một chút mở rộng cho bài toán này nhé

Tổng quát: Cho các số thực dương $x_1;x_2;...;x_{n}$.Đặt $y_{i}=\frac{x_1x_2....x_{n}}{x_{i}}$.
Khi đó ta có :
\[\frac{{{x_1}}}{{\sqrt[{n - 1}]{{x_1^{n - 1} + \left( {{n^{n - 1}} - 1} \right){y_1}}}}} + \frac{{{x_2}}}{{\sqrt[{n - 1}]{{x_2^{n - 1} + \left( {{n^{n - 1}} - 1} \right){y_2}}}}} + ... + \frac{{{x_n}}}{{\sqrt[{n - 1}]{{x_n^{n - 1} + \left( {{n^{n - 1}} - 1} \right){y_n}}}}} \ge 1\]

Ngoài ra $k=n^{n-1}-1$ cũng là hằng số tốt nhất sao cho BĐT sau đúng với mọi $x_1;x_2;...;x_{n}>0$ :
\[\frac{{{x_1}}}{{\sqrt[{n - 1}]{{x_1^{n - 1} + k{y_1}}}}} + \frac{{{x_2}}}{{\sqrt[{n - 1}]{{x_2^{n - 1} + k{y_2}}}}} + ... + \frac{{{x_n}}}{{\sqrt[{n - 1}]{{x_n^{n - 1} + k{y_n}}}}} \ge \frac{n}{{\sqrt[{n - 1}]{{1 + k}}}}\]