Chủ đề này có 5 trả lời

[Forgive Yourself]

Cho $x^3+y^3+3(x^2+y^2)+4(x+y)+4=0$ và $xy>0$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

[BlackSelena]

Cho $x^3+y^3+3(x^2+y^2)+4(x+y)+4=0$ và $xy>0$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Thực hiện phân tích nhân tử
$x^3+y^3+3(x^2+y^2)+4(x+y)+4=0$
$\Leftrightarrow (x+y+2)(x^2+y^2+x+y - xy + 2) = 0$
Mặt khác, $x^2+y^2+x+y - xy + 2 = (x+1)^2 + (y+1)^2 - (x+1)(y+1) + 1$
Đặt $a = x+1 ; b= y+1$ thì biểu thức trở thành $a^2 - ab + b^2 + 1 > 0$
Vậy $x+y = -2$
Theo bdt Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y} = -2$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=-1$

[25 minutes]

Cho $x^3+y^3+3(x^2+y^2)+4(x+y)+4=0$ và $xy>0$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Thực hiện phân tích nhân tử
$x^3+y^3+3(x^2+y^2)+4(x+y)+4=0$
$\Leftrightarrow (x+y+2)(x^2+y^2+x+y - xy + 2) = 0$
Mặt khác, $x^2+y^2+x+y - xy + 2 = (x+1)^2 + (y+1)^2 - (x+1)(y+1) + 1$
Đặt $a = x+1 ; b= y+1$ thì biểu thức trở thành $a^2 - ab + b^2 + 1 > 0$
Vậy $x+y = -2$
Theo bdt Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y} = -2$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=-1$

Chỗ tìm min của em sai rồi
Cho $x=\frac{-3}{2},y=\frac{-1}{2}\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{-8}{3}\leq -2$
Và đề bài yêu cầu tìm Max chứ không phải tìm Min ?

[mrjackass]

Thực hiện phân tích nhân tử
$x^3+y^3+3(x^2+y^2)+4(x+y)+4=0$
$\Leftrightarrow (x+y+2)(x^2+y^2+x+y - xy + 2) = 0$
Mặt khác, $x^2+y^2+x+y - xy + 2 = (x+1)^2 + (y+1)^2 - (x+1)(y+1) + 1$
Đặt $a = x+1 ; b= y+1$ thì biểu thức trở thành $a^2 - ab + b^2 + 1 > 0$
Vậy $x+y = -2$
Theo bdt Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y} = -2$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=-1$

x,y chưa dương

[BlackSelena]

Chỗ tìm min của em sai rồi
Cho $x=\frac{-3}{2},y=\frac{-1}{2}\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{-8}{3}\leq -2$
Và đề bài yêu cầu tìm Max chứ không phải tìm Min ?

Vậy thì thế này vậy ạ
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{-2}{xy}$
Mặt khác $xy \leq \dfrac{(x+y)^2}{4} = 1$
$\Rightarrow \dfrac{-2}{xy} \leq \dfrac{-2}{1} = -2$

[dinhthanhhung]

Thực hiện phân tích nhân tử
$x^3+y^3+3(x^2+y^2)+4(x+y)+4=0$
$\Leftrightarrow (x+y+2)(x^2+y^2+x+y - xy + 2) = 0$
Mặt khác, $x^2+y^2+x+y - xy + 2 = (x+1)^2 + (y+1)^2 - (x+1)(y+1) + 1$
Đặt $a = x+1 ; b= y+1$ thì biểu thức trở thành $a^2 - ab + b^2 + 1 > 0$
Vậy $x+y = -2$
Theo bdt Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y} = -2$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=-1$

Không nên làm thế này .
Tôi xin phép dùng đk $x+y=-2$ của bạn để giải .
Thế vào $M=\frac{1}{x}-\frac{1}{2+x}=\frac{2}{x^{2}+2x}$
Đến đây dùng miền là an toàn nhất .