Chủ đề này có 2 trả lời

[tramyvodoi]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa $abc=1$. Chứng minh:
$\sum \frac{b+c-a}{bc(b+c)}\leq \sum \frac{2}{(a+b)(b+c)}$

[maitienluat]

Quy đồng và sử dụng $abc=1$, BĐT đã cho trở thành:
$$a^{4}+b^{4}+c^{4}+a+b+c\geq 2\left (a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \right )$$
Tuy nhiên BĐT này hiển nhiên đúng theo Schur và AM-GM:
$$a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq ab(a^{2}+b^{2})+bc(b^{2}+c^{2})+ca(c^{2}+a^{2})$$
$$\geq 2\left (a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \right )$$
Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

[nguyenthehoan]

Bất đẳng thức tương đương
$\sum \frac{a(b+c-a)}{b+c}\leq \sum \frac{2}{(a+c)(a+b)}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{b+c}+\sum \frac{2}{(a+b)(a+c)}\geq a+b+c$
$\Leftrightarrow \sum a^{2}(a+b)(a+c)+4(a+b+c)\geq (a+b+c)\prod(b+c)$
với abc=1 ta viết bất đẳng thức dưới dạng đồng bậc
$\Leftrightarrow \sum a^{2}(a+b)(a+c)+4abc(a+b+c)\geq (a+b+c)\prod(b+c)$
$\Leftrightarrow \sum a^{4}+abc(\sum a)\geq 2\sum a^{2}b^{2}$
Đây chính là bất đẳng thức shur quen thuộc