cho tam giác ABC. từ P nằm trên BC dựng PM song song AC, PN song song B (M$\in$AB,N$\in$AC) chứng minh:
S[ABC](^2)≥16S[PBM].S[CPN]
#2
Đã gửi 04-03-2013 - 09:36
Ta có:cho tam giác ABC. từ P nằm trên BC dựng PM song song AC, PN song song B (M$\in$AB,N$\in$AC) chứng minh:
S[ABC](^2)≥16S[PBM].S[CPN]
$-(BP-CP)^2\leq 0$
$\Leftrightarrow -BP^2+2.BP.CP-CP^2 \leq 0$
$\Leftrightarrow 4.BP.CP-(BP+CP)^2 \leq 0$
$\Leftrightarrow 4.BP.CP-BC^2 \leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{BP.CP}{BC^2}-\frac{1}{4} \leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{BP.CP.BP.CP}{BC^4} \leq \frac{1}{16}$
Mà $\frac{BP}{BC}=\frac{BM}{AB}$ và $\frac{CP}{BC}=\frac{CM}{AC}$
Nên $\frac{BM}{AB}.\frac{BP}{BC}.\frac{CN}{AC}.\frac{CP}{BC}\leq \frac{1}{16}$
Dựng $AH,$ $MK,$ $NI$ vuông góc với $BC,$ dễ thấy $\frac{BM}{AB}=\frac{MK}{AH}$ và $\frac{CN}{AC}=\frac{NI}{AH}$
Do đó: $\frac{MK}{AH}.\frac{BP}{BC}.\frac{NI}{AH}.\frac{CP}{BC}\leq \frac{1}{16}$
$\Leftrightarrow \frac{2S_{MBP}}{2S_{ABC}}.\frac{2S_{NCP}}{2S_{ABC}}\leq \frac{1}{16}$
$\Leftrightarrow \frac{S_{MBP}.S_{NCP}}{S^2_{ABC}}\leq \frac{1}{16}$
$\Leftrightarrow 16.S_{MBP}.S_{NCP}\leq S^2_{ABC}$
Dấu $"="$ xảy ra khi $BP=CP$ hay $P$ trung điểm $BC.$
- Tienanh tx yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: p.ha
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN: $P=a^{2}+2b^{2}+c^{2}$Bắt đầu bởi votanphu, 17-01-2015 p.ha |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
$\left\{\begin{matrix} x^{4}-4x^{2}y+3x^{2}+y^{2}=0\\ x^{2}-2xy+x+y=0 \end{matrix}\right.$Bắt đầu bởi votanphu, 07-01-2015 p.ha |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm cực trị bằng phương pháp hàm số: Tìm GTNN,GTLN của: P=$x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}+3x^{2}y^{2}$Bắt đầu bởi votanphu, 28-07-2014 p.ha |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
giải phương trình: $x^{3}-3x+1=\sqrt{8-3x^{2}}$Bắt đầu bởi votanphu, 08-07-2014 p.ha |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh rằng: HK vuông góc IJBắt đầu bởi votanphu, 29-03-2014 p.ha |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh