Chủ đề này có 1 trả lời

[votanphu]

cho tam giác ABC. từ P nằm trên BC dựng PM song song AC, PN song song B (M$\in$AB,N$\in$AC) chứng minh:
S[ABC](^2)≥16S[PBM].S[CPN]

Hình gửi kèm

• 

[DarkBlood]

cho tam giác ABC. từ P nằm trên BC dựng PM song song AC, PN song song B (M$\in$AB,N$\in$AC) chứng minh:
S[ABC](^2)≥16S[PBM].S[CPN]

Ta có:
$-(BP-CP)^2\leq 0$

$\Leftrightarrow -BP^2+2.BP.CP-CP^2 \leq 0$

$\Leftrightarrow 4.BP.CP-(BP+CP)^2 \leq 0$

$\Leftrightarrow 4.BP.CP-BC^2 \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{BP.CP}{BC^2}-\frac{1}{4} \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{BP.CP.BP.CP}{BC^4} \leq \frac{1}{16}$

Mà $\frac{BP}{BC}=\frac{BM}{AB}$ và $\frac{CP}{BC}=\frac{CM}{AC}$

Nên $\frac{BM}{AB}.\frac{BP}{BC}.\frac{CN}{AC}.\frac{CP}{BC}\leq \frac{1}{16}$

Dựng $AH,$ $MK,$ $NI$ vuông góc với $BC,$ dễ thấy $\frac{BM}{AB}=\frac{MK}{AH}$ và $\frac{CN}{AC}=\frac{NI}{AH}$

Do đó: $\frac{MK}{AH}.\frac{BP}{BC}.\frac{NI}{AH}.\frac{CP}{BC}\leq \frac{1}{16}$

$\Leftrightarrow \frac{2S_{MBP}}{2S_{ABC}}.\frac{2S_{NCP}}{2S_{ABC}}\leq \frac{1}{16}$

$\Leftrightarrow \frac{S_{MBP}.S_{NCP}}{S^2_{ABC}}\leq \frac{1}{16}$

$\Leftrightarrow 16.S_{MBP}.S_{NCP}\leq S^2_{ABC}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $BP=CP$ hay $P$ trung điểm $BC.$