Chủ đề này có 3 trả lời

[Joker9999]

Bài toán: Cho $x,y,z$ dương thoả $x+y+z=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất

$(x^5-8x^2+96)(y^5-8y^2+96)(z^5-8z^2+96)$

( Chọn tuyển Sư Phạm hôm nay :-,<)

[maitienluat]

Ta có BĐT phụ sau:
$$x^{5}-8x^{2}+96\geq 4(x^{3}+16)$$
$$\Leftrightarrow (x-2)^{2}(x+2)(x^{2}+2x+4)\geq 0$$
Tương tự và áp dụng Holder :
$$(x^{3}+8+8)(8+y^{3}+8)(8+8+z^{3})\geq (4x+4y+4z)^{3}= 24^{3}$$
Suy ra min là $96^{3}$, đạt được khi $x=y=z=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 04-03-2013 - 18:06

[25 minutes]

Bài toán: Cho $x,y,z$ dương thoả $x+y+z=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất

$(x^5-8x^2+96)(y^5-8y^2+96)(z^5-8z^2+96)$

( Chọn tuyển Sư Phạm hôm nay :-,<)

Ta có
$(x^3-8)(x^2-4)=(x-2)^2(x+2)(x^2+2x+4) \geq 0$
$\Rightarrow x^5-8x^2+32 \geq 4x^3$
$\Rightarrow x^5-8x^2+96 \geq 4x^3+64$
Tương tự 2 bđt còn lại rồi nhân lại ta được $\prod (x^5-8x^2+96)\geq \prod (4x^3+64)=\prod 4(x^3+16)=64\prod (x^3+16)$
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta được $64\prod (x^3+8+8)\geq 64\left [ 4(x+y+z) \right ]^3=96^3$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=2$ ?

[WhjteShadow]

Bài toán: Cho $x,y,z$ dương thoả $x+y+z=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất

$(x^5-8x^2+96)(y^5-8y^2+96)(z^5-8z^2+96)$

( Chọn tuyển Sư Phạm hôm nay :-,<)

Có lẽ ý tưởng chế bài là xuất phát từ bài toán
Ch0 $a,b,c$ dương, $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)\geq 27$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 04-03-2013 - 18:47