Chủ đề này có 1 trả lời

[tramyvodoi]

Cho các số không âm a, b, c, d thỏa $a+b+c+d=1$
Tìm max của $A=abc+bcd+cda+dab-\frac{176}{27}abcd$

[maitienluat]

Không mất tính tổng quát giả sử $a\leq b\leq c\leq d$. Ta c/minh
$$A=f(a,b,c,d)=abc+bcd+cda+dab-\frac{176}{27}abcd\leq \frac{1}{27}$$
$$f(a,b,c,d)=bd\left ( a+c-\frac{176}{27}ac \right )+ac(b+d)$$
Từ giả thiết suy ra
$$a+c\leq \frac{a+b+c+d}{2}=\frac{1}{2}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{a+c}\geq 8> \frac{176}{27}$$
$$\Rightarrow f(a,b,c,d)\leq ac(b+d)+\left ( \frac{b+d}{2} \right )^{2}\left ( a+c-\frac{176}{27}ac \right )=f\left ( a,\frac{b+d}{2},c,\frac{b+d}{2} \right )$$
Từ đó ta chỉ cần c/minh BĐT khi $b=c=d=x,a=1-3x$ , điều này tương đương với:
$$(1-3x)(4x-1)^{2}(11x+1)\geq 0$$
Đúng do $x\leq \frac{1}{3}$. Vậy $max A=\frac{1}{27}$ khi $a=b=c=d=\frac{1}{4}$ hoặc $a=0,b=c=d=\frac{1}{3}$ và các hoán vị.