293 replies to this topic

[HaiDang]

pt : $x^3 -2x^2 -1 =0$;
Áp dụng Cacdano để giải
Đặt $ y = x + \dfrac{1}{3} <=> x = y - \dfrac{1}{3} $;
thay vào phương trình ta được dạng
$x^3 + ax +b =0$;
Đặt $x = u+v$;
Thế vào trên ta được
$u^3 +v^3 +b + (u +v)(3uv +a) =0
<=> $ hệ pt:
$u^3 +v^3 =-b$
$3uv = -a $ (với $x =0 <=> u +v =0 $không phải là nghiệm)
đó là phương trình dạng : $at^6 +bt^3 +c =0$ suy ra nghiệm t, suy ra nghiệm u , suy ra x

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:09.

[Lee Sr]

"bé" MCmath có đề nghị imathsvn post bài về phương trình bậc 3 và 4 nên imathsvn post phương pháp giải ở đây :
Phương trình bậc 3 có dạng
$x^{3}+rx^{2}+sx+t=0$

Bước 2:Đặt$u^{3}+v^{3}=-q
uv= \dfrac{-p}{3}$

Nếu $\dfrac{q}{2} + \dfrac{p}{3}>0$ thì phương trình có 1 nghiệm

$y= \sqrt[3]{ \dfrac{-q}{2}+ \sqrt{\dfrac{q}{2} + \dfrac{p}{3}} } - \sqrt[3]{ \dfrac{-q}{2}- \sqrt{\dfrac{q}{2} + \dfrac{p}{3}} $

Nếu $\dfrac{q}{2} + \dfrac{p}{3}=0 $ có 3nghiệm

$y_1=2 \sqrt[3]{ \dfrac{-q}{2$
$y_2=y_3=- \sqrt[3]{ \dfrac{-q}{2$

Nếu $ \dfrac{q}{2} + \dfrac{p}{3}<0$ thì có 3 nghiệm phân biệt

$y_1=2 \sqrt[3]{u}cos \dfrac{ \gamma}{3}$

$y_2,y_3 $các bạn tự tính nốt nhé

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:16.

[toandang]

"bé" MCmath có đề nghị imathsvn post bài về phương trình bậc 3 và 4 nên imathsvn post phương pháp giải ở đây :
Phương trình bậc 3 có dạng
http://dientuvietnam...} rx^{2} sx t=0
Bước 2:Đặthttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u^{3}+v^{3}=-q

Nếu thì phương trình có 1 nghiệm

Nếu có 3nghiệm


Nếu thì có 3 nghiệm phân biệt

y2,y3 các bạn tự tính nốt nhé

Cái này rất hay đó imathsvn. Còn chuyên đề nào nữa hông. Đánh nốt lên đi

[toandang]

Thêm một bài khác nữa nhé
Cho a,b,c khác nhau thoã
$\dfrac {b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac {c^2+a^2-b^2}{2ca}+\dfrac {a^2+b^2-c^2}{2ab}=1$
CMR: hai trong ba phân thức nói trên bằng 1, cái còn lại bằng -1

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:16.

[Lee Sr]

Còn một cách giải của Ferrari(Nghe giống tên của một hãng ôto nhỉ) về phương trình bậc 4 nhưng Imathsvn ngại post lắm .Có một bài toán pt khá hay mọi người cùng làm thử nhé:
$\sqrt{x+1} + 2x+2 =x-1+ \sqrt{1-x} +3sqrt{1-x^{2}} $

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:17.

[HaiDang]

Imathsvn làm như thế là các học sinh muốn thi vào trường chuyên sẽ rất thích vì trong những kì thi tuyển thì PT cũng rất hay ra, các em có thể áp dụng thoải mái nếu gặp nghiệm xấu, còn nghiệm đẹp thì lấy máy tính mà làm

[toandang]

ĐỀ 1( Chuyên toán - Tin ĐHSP (ĐHQG Hà Nội)- 1997)
1. Cho biểu thức
$P(x)=(a-b)^n+(b-c)^n+(c-a)^n$ chia hết cho đa thức $S_{ABCD} \leq \dfrac {1}{2}(AM+AN)^2$

5. Trên bờ một biển h�#8220; hình tròn có 2n thành phố (n 2). Giữa hai thành phố tùy ý có thể có hoặc không có đường thủy nối trực tiếp với nhau. Người ta nhận thấy rằng đối với 2 thành phố A và B bất kì thì giữa chúng có đường thủy nối trực tiếp với nhau khi và chỉ khi giữa các thành phố A' và B' không có đường thủy nối trực tiếp với nhau, trong đó A' và B' theo thứ tự là hai thành phố gần với A và B nhất nếu đi từ A đến A' và B đến B' trên bờ h�#8220; dọc theo cùng một chiều (cùng chiều kim đồng h�#8220; hoặc ngược chiều kim đồng h�#8220;). Chứng tỏ rằng: từ mỗi thành phố đều có thể đi bằng đường thủy đến một thành phố tùy ý khác nhau theo một lộ trình qua không quá hai thành phố trung gian.

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:18.

[manocanh]

[quote name='HaiDang' date='Dec 27 2005, 08:29 PM']pt : $x+y+z+\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{3}{y-1}+\dfrac{3}{z-1}=2(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+2})$

Hint nè : dùng côsi nhưng phải biến đổi 1 chút

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:19.

[MCmath]

Nếu MCmath thích số học thì thử bài này xem sao nhé (rất đơn giản thôi)

Bài 1) Cho các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16. CMR: ta có thể xếp chúng thành một dãy số theo hàng ngang sao cho tổng hai số bất kì cạnh nhau luôn là một số chính phương và CM ta không thể xếp theo vòng tròn được.

Bài 2) Cho một ô vuông chia thành 9 ô vuông bằng nhau (3x3). Cho các số từ 1 đến 9. Xếp các số vào mỗi ô sao cho tổng hai số bất kì cạnh nhau theo hàng dọc và ngang luôn là một số nguyên tố.
 

2 bài này cực DỄ, siêu DỄ, DỄ quá không ai làm đấy ông anh ơi
Bài 1
Xếp theo hàng ngang được vì nó xếp được chứ sao nữa 8-1-15-10-6-3-13-12-4-5-11-14-2-7-9-16.
Xếp vòng không được là ta có nhận xét giả sử nếu xếp hình vòng được thì mỗi số đều có ít nhất 2 số trong các số đã cho tổng số đó với từng số (trong 2 số) là một số chính phương. Mà 16 thì chỉ có thể kết hợp với 1 số là 9 để thành 25 thui (vì số chính phương lớn nhất có thể chỉ là 25). Vậy không xếp được

Bài 2
Ý tưởng thui nhé, lần lượt xét ô chính giữa là số chẵn hay số lẽ (lưu ý từ 1->9 có 5 lẽ và 4 chẵn) từ đó ta có kết luận không thể xếp được. OK

Edited by MCmath, 28-12-2005 - 12:55.

[MCmath]

[quote name='imathsvn' date='Dec 27 2005, 11:46 PM'] Còn một cách giải của Ferrari(Nghe giống tên của một hãng ôto nhỉ) về phương trình bậc 4 nhưng Imathsvn ngại post lắm .Có một bài toán pt khá hay mọi người cùng làm thử nhé:
$ a=sqrt{x+1}$ và b=$sqrt{1-x}$
Pt $\Leftrightarrow (a-b)(2a-b+1)=0$. Xong rùi nhỉ

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:21.

[Lee Sr]

1) $a^{2}+ab+b^{2}-3a-3b+3$
Bài 3:
a)Chứng minh với mọi m nguyên dương ,biểu thức $\dfrac{BH}{HC}$
Bài 5:
Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc với nhau .Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau
Đề trên khá dễ so với bây giờ nhưng các bạn nên lưu ý so với thời điểm năm đó thì đề ko dễ chút nào

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:22.

[Lee Sr]

<span style='color:red'>ĐỀ CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI NĂM 1998</span>
Bài 1:
x,y,z,t là 4 số dương nhỏ hơn 1 thỏa mãn điều kiện $xyzt=(1-x)(1-y)(1-z)(1-t)$
Chứng minh rằng $S_n=1.2...7+n(n+1)...(n+7)$
có thể viết được tổng các bình phương của 2 số nguyên dương
Bài 3:
Giải bất phương trình
$\sqrt{x^{4}+x^{2}+1} + \sqrt{x(x^{2}-x+1)} \leq sqrt{ \dfrac{(x^{2}+1)^{3}}{x} }" $
Bài 4:
Cho tam giác ABC cân ở B ,cạnh AB lớn hơn cạnh đáy AC và diện tích tam giác ABC=1.CMR có thể đặt tam giác ABC lọt vào miền tam giác vuông có diện tích $\leq \sqrt{3} $
Bài 5:
Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M nằm trong hình chữ nhật
a)CM:
$MA+MB+MC+MD \leq AB+AC+AD$
b)Tìm tất cả các vị trí của M sao cho
$MA.MC \leq MB.MD$

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:24.

[manocanh]

Bài cực hay đây các bạn :
Cho $ \alpha ,\beta $ thỏa mãn các phương trình :
$\alpha^3-3\alpha^2+5\alpha-17=0 , \beta^3-3\beta^2+5\beta+11=0$
Tìm tổng $ \alpha+\beta $

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:25.

[toandang]

Giải phương trình sau:

$\sqrt[4]{\dfrac {(x-1)(x+1)}{x}} + \sqrt[4]{\dfrac {(x^2+x+1)(x^2-x+1)+1}{x}} = 2\dfrac {sqrt{x^2+1}}{\sqrt[4]{x}$

gợi ý của bài này như sau dùng bđt quen thuộc
$a+b \leq 2 \sqrt[4]{a^4+b^4}$

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:26.

[toandang]

Cho mấy em mấy bài bất đẳng thức vừa sức này nhé

1.Cho a,b,c là các số thực thỏa $a^2(2a+1)+b^2(2b+1)+c^2(2c+1)\leq a^4+b^4+c^4$

2. Cho $a,b,c \geq -1$
CMR: $a^3+b^3+c^3+3\geq (a+b+c)(1+ \sqrt[3]{abc})$

3. CM bất đẳng thức sau:
$\dfrac {a^2}{3^3}+\dfrac {b^2}{4^3}+\dfrac {c^2}{5^3} \geq \dfrac {(a+b+c)^2}{6^3}$

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:29.

[toandang]

Một số bài suy luận logic và số học
1. Cho bàn cờ hình chữ nhật (không kích thứơc, ô). Có hai người chơi cờ và quy luật để thắng như sau: ai là người đặt quân cờ cuối cùng vào bàn cờ thì người đó thắng (đánh cho đến khi các quân cờ lấp đầy bàn cờ thì thôi). Hãy tìm cách đánh sao cho người đi trước luôn thắng.

2. Cho ô vuông chia thành 25 ô vuông nhỏ (5x5). Đặt 25 con bọ trong mỗi ô vuông. Biết rằng sau một lần vỗ tay thì mỗi con bọ đều di chuyển về 1 ô cạnh nó ( theo hàng dọc hoặc ngang). CMR: sau một lần vỗ tay có ít nhất 1 ô trống.

3. Cho P=1x3x5x7x....x2001. Hỏi 2N-1, 2N và 2N+1 số nào là số chính phương

4. Tìm số nguyên tố p sao cho $p^2+44$ là số nguyên tố (bài này dễ)

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:30.

[Cháu Ngoan Bác Hồ]

Mời các bạn lớp 9 cùng làm bài BDT sau(không khó):

$ a,b,c>0$ .CMR:

$ a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc \geq \dfrac{4}{3}(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a) $

(Hình như cũng đã có người đưa lên diễn đàn r�#8220;i nhưng chưa thấy ai trả lời).

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:31.

[marsu]

Tới luôn, thêm bài APMO 2002 cực dễ này nữa (dễ quá thì đừng chê nhá ):
Cho các số thực dương $\large a,b,c$ thỏa mãn điều kiện :
$\large \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} =1$. Chứng minh rằng :
$\large \sqrt{a+bc} + \sqrt{b+ca} + \sqrt{c+ab} \geq \large \sqrt{abc} + \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} $

P/S: Sao tui thấy bài post nhiều mà lời giải thì ít quá

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:32.

[toandang]

Mời các bạn lớp 9 cùng làm bài BDT sau(không khó):

:




(Hình như cũng đã có người đưa lên diễn đàn rồi nhưng chưa thấy ai trả lời).

Anh ạ, bài này đã post rùi đó anh ạ, bài giải luôn đây nè anh vào đây
Mà bài này không có dễ với mấy bé đâu anh. Vì nó là Schur mà lớp 9 đâu đã học, có biết thi cũng phải cm lại. He he

[Cháu Ngoan Bác Hồ]

Thấy các em nhỏ ít chịu giải bài quá,đành post luôn cách giải bài của pc411 đã từng đưa lên:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

$ \Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc+2(a^{3}+b^{3}+c^{3}) \geq 4(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

Theo Schur thì :

Vế trái $\geq a^{2}b+b^{2}a+b^{2}c+c^{2}b+a^{2}c+c^{2}a+2(a^{3}+b^{3}+c^{3}) $

Vậy còn phải chứng minh rằng :

$2( \sum a^{3})+b^{a}+c^{2}b+a^{2}c \geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a )$

Điều này hiển nhiên do:

$\sum a^{3} \geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a $

$ \sum a^{3} +b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c \geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

Còn bài APMO 2002 thì mình đã post ở bài khác ,(gần đây),ai xem thì tự tìm .

Edited by math_galois, 09-05-2009 - 06:40.