Chủ đề này có 8 trả lời

[vanduongts]

tìm x,y nguyên thỏa mãn $$x^y=y^x$$ dùng kiến thức cấp 2

[Idie9xx]

tìm x,y nguyên thỏa mãn $$x^y=y^x$$ dùng kiến thức cấp 2

Ta có $$x^y=y^x \Leftrightarrow (\dfrac{x}{y})^y=y^{x-y}$$
Giả sử $x \geq y$ nên $x \vdots y$ cho $\dfrac{x}{y}=k$ được
$$k^y=y^{y(k-1)} \Rightarrow k=y^{k-1} \Rightarrow k=1,k=2 $$
Vậy các nghiệm thảo mãn là $(x;y)=(t;t) \cup (x;y)=(4;2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 13-03-2013 - 12:23

[vanduongts]

Ta có $$x^y=y^x \Leftrightarrow (\dfrac{x}{y})^y=y^{x-y}$$
Giả sử $x \geq y$ nên $x \vdots y$ cho $\dfrac{x}{y}=k$ được
$$k^y=y^{y(k-1)} \Rightarrow k=y^{k-1} \Rightarrow k=1,k=2 $$
Vậy các nghiệm thảo mãn là $(x;y)=(t;t) \cup (x;y)=(4;2)$

phải chung minh với k bất kỳ khác 1 và 2 thì có điều vô lý chứ

[Idie9xx]

phải chung minh với k bất kỳ khác 1 và 2 thì có điều vô lý chứ

Có thể là mình làm hơi tắt thì phải
Ta có $k=y^{k-1} \Rightarrow y^m-m+1=0,(m=k-1)$
Xét $y^m-m+1$ đồng biến $y>0$ trên khoảng $(2;+ \infty)$ mà $m=2$ thì $y^m-m+1 >0$ và $y<0$ thì nghịch biến $m=2u+1$ đồng biến $m=2u$ nên chỉ có nghiệm $k=1,k=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 13-03-2013 - 18:16

[vanduongts]

Có thể là mình làm hơi tắt thì phải
Ta có $k=y^{k-1} \Rightarrow y^m-m+1=0,(m=k-1)$
Xét $y^m-m+1$ đồng biến $y>0$ trên khoảng $(2;+ \infty)$ mà $m=2$ thì $y^m-m+1 >0$ và $y<0$ thì nghịch biến $m=2u+1$ đồng biến $m=2u$ nên chỉ có nghiệm $k=1,k=2$

đã nói là dùng kiến thức cấp 2 mà ,sao được phép dùng đơn điệu để xét nghiệm

[Phanh]

tìm x,y nguyên thỏa mãn $$x^y=y^x$$ dùng kiến thức cấp 2

Nếu không có điều kiện gì thêm của x và y thì kết quả là đúng với mọi x,y nguyên thỏa mãn x=y.
ví dụ như
$1^{1}=1^{1},2^{2}=2^{2},....$

[vanduongts]

Nếu không có điều kiện gì thêm của x và y thì kết quả là đúng với mọi x,y nguyên thỏa mãn x=y.
ví dụ như
$1^{1}=1^{1},2^{2}=2^{2},....$

thế $ 2^4=4^2 $ thì sao

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanduongts: 18-03-2013 - 23:28

[Phanh]

thế $ 2^4=4^2 $ thì sao

Ờ nhỉ.Mình không nghĩ đến.

[mrjackass]

tìm x,y nguyên thỏa mãn $$x^y=y^x$$ dùng kiến thức cấp 2

Bài này hình như tớ post 1 lần rồi nhưng chưa ai giải ở cái topic đó cả.

Nếu $x=y$ thì nghiệm là $(n;n)$ với $n$ tự nhiên

Nếu $x$ khác $y$. Không mất tổng quát, giả sử $ x \geq y$. Đặt $x=y+m$ ($m$ nguyên)

=> $y^{y+m}=(y+m)^y \iff (1+\frac{m}{y})^y=y^m$

Dễ thấy VP nguyên, do đó VT nguyên, dẫn tới $\frac{m}{y}$ nguyên

=>$x\vdots y$. Đặt $x=ny$ ($n$ nguyên)

=> $(ny)^y=y^{ny} \iff ny=y^n$

Nếu $y=1$ thì $x=y=1$

Nếu $y \geq 2$ thì bằng quy nạp, ta CM được $VP \geq VT$ và dấu "=" $\iff y=n=2 \iff x=4; y=2$