Chủ đề này có 2 trả lời

[tramyvodoi]

Cho các số thực dương a, b, c thỏa:$a+b+c=1$. chứng minh:
$\sum \frac{1}{a}+48\sum ab\geq 25$

[WhjteShadow]

Cho các số thực dương a, b, c thỏa:$a+b+c=1$. chứng minh:
$\sum \frac{1}{a}+48\sum ab\geq 25$

Một lời giải sử dụng bất đẳng thức hàm Ngoài ra còn 1 lời giải dùng UCT nhưng hơi trâu :@) Việt có thời gian rảnh thì làm nhé :">
Giả sử $a\geq b\geq c$.Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 1+24(a^2+b^2+c^2)$$
Xét hàm $f(x)=\frac{1}{x}-24x^2$ ta có $f''(x)=\frac{2}{x^3}-48$ lõm trên khoảng $\left(0;\frac{1}{\sqrt[3]{24}}\right)$, lồi trên khoảng $\left(\frac{1}{\sqrt[3]{24}};1\right)$. Nhưng do $a\geq b\geq c$ nên $c\leq \frac{1}{3}<\frac{1}{\sqrt[3]{24}}$.
Xét 2 trường hợp :
$\bullet$ Nếu $b\leq \frac{1}{\sqrt[3]{24}}$. Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có:
$$f(b)+f\left(c\right)\geq 2f\left(\frac{b+c}{2}\right)\geq 2f\left(\frac{1-a}{2}\right)$$
Ta cần chứng minh:
$$2f\left(\frac{1-a}{2}\right)+f(a)\geq 1$$
$$\Leftrightarrow \frac{4}{1-a}-12(1-a)^2+\frac{1}{a}-24a^2\geq 1$$
$$\Leftrightarrow \frac{((3a-1)(2a-1))^2}{(1-a)a}\geq 0$$
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng :")
$\bullet$ Nếu $b> \frac{1}{\sqrt[3]{24}}$. Lúc này $a,b$ nằm tr0ng khoảng lồi của $f$. Xét 2 bộ không tăng $(a,b)$ và $\left(a+b-\frac{1}{\sqrt[3]{24}};\frac{1}{\sqrt[3]{24}}\right)$ ta có:
$$\left\{\begin{matrix}
a+b-\frac{1}{\sqrt[3]{24}}\geq a \\ \left(a+b-\frac{1}{\sqrt[3]{24}}+\frac{1}{\sqrt[3]{24}}\right)=a+b\end{matrix}\right.$$
Vậy nên $\left(a+b-\frac{1}{\sqrt[3]{24}};\frac{1}{\sqrt[3]{24}}\right)\succ (a;b)$. Áp dụng bất đẳng thức Karamata ch0 hàm lồi ta có:
$$f(a)+f(b)\geq f\left(a+b-\frac{1}{\sqrt[3]{24}}\right)+f\left(\frac{1}{\sqrt[3]{24}}\right)$$
Vậy ta quy về chứng minh:
$$f\left(a+b-\frac{1}{\sqrt[3]{24}}\right)+f\left(\frac{1}{\sqrt[3]{24}}\right)+f\left(c\right)\geq 1$$
Nhưng giờ thì ta có $\frac{1}{\sqrt[3]{24}},c\leq \frac{1}{\sqrt[3]{24}}$, bài toán trở lại trường hợp 1 !
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=\frac{1}{3}$ hoặc $a=\frac{1}{2},b=c=\frac{1}{4}$ và các hoán vị $\blacksquare$

[maitienluat]

BĐT đã cho tương đương với:
$$\frac{q}{r}+48r\geq 25$$
Đây là hàm nghịch biến theo $r$ nên ta chỉ cần c/minh khi có 2 biến bằng nhau.
Không mất tổng quát giả sử $b=c=x,a=1-2x$ với $0< x< \frac{1}{2}$. Khi đó BĐT cần c/minh trở thành
$$\frac{1}{1-2x}+\frac{2}{x}+48x^{2}+96x(1-2x)\geq 25$$
$$\Leftrightarrow \frac{(4x-1)^{2}(3x-1)^{2}}{x(1-2x)}\geq 0$$
Hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ hoặc $a=\frac{1}{2},b=c=\frac{1}{4}$ và các hoán vị.