Chủ đề này có 5 trả lời

[phathuy]

Cho các số x, y nguyên thỏa $\left | x \right |<1, \left | y \right |<1$. Chứng minh rằng $\left | x \right |+\left | y \right |\geq \left | \frac{x+y}{1+xy} \right |$

[banhgaongonngon]

Cho các số x, y nguyên thỏa $\left | x \right |<1, \left | y \right |<1$. Chứng minh rằng $\left | x \right |+\left | y \right |\geq \left | \frac{x+y}{1+xy} \right |$

+ Với $x=0$ ta có $|x|=0<1$
+ Với $x\neq 0$, do $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow |x|\geq 1$, trái với giả thiết.
Vậy chỉ có trường hợp $x=0$
Tương tự $y=0$
Khi đó thì $|x|+|y|=\left | \frac{x+y}{1+xy} \right |=0$

[phathuy]

Xin lỗi, x, y không nguyên mà chỉ là số thực thôi. Xin gửi bài này để tạ lỗi vậy.

Bài 2: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh $\left | \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a} \right |<\frac{1}{16}$. Có thể đề xuất một giá trị nhỏ hơn cho bài toán này không?

[Christian Goldbach]

Cho các số x, y thực thỏa $\left | x \right |<1, \left | y \right |<1$. Chứng minh rằng $\left | x \right |+\left | y \right |\geq \left | \frac{x+y}{1+xy} \right |$

+) Xét xy>=0$\Rightarrow xy+1\geq 1\Rightarrow \left | \frac{x+y}{xy+1} \right |\leq \left | x+y \right |\leq \left | x \right |+\left | y \right |$
+) Xét xy<0,Vì x,y có Vai trò như nhau nên GS $y<0<x$,Mà $\left | x \right |,\left | y \right |< 1\Rightarrow \left | x \right |\left | y \right |<1$
-)Nếu x+y<0Khi đó bđt có dạng:
$x-y\geq \frac{-x-y}{1+xy}\Leftrightarrow (x-y)(1+xy)\geq x-y\Leftrightarrow x-y+x^2y-y^2x\geq -x-y\Leftrightarrow x(2+xy-y^2)\geq 0\Leftrightarrow x[(xy+1)+1-y^2]\geq 0$
-)Nếu x+y>0 Khi đó bđt có dạng:
$x-y\geq \frac{x+y}{xy+1}\Leftrightarrow (x-y)(1+xy)\geq x+y\Leftrightarrow y(x^2-xy-2)\geq 0\Leftrightarrow y[(x^2-1)+(xy-1)]\geq 0$(ll đúng )
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrMathCSKH0110: 23-03-2013 - 12:50

[phathuy]

+) Xét xy>=0$\Rightarrow xy+1\geq 1\Rightarrow \left | \frac{x+y}{xy+1} \right |\leq \left | x+y \right |\leq \left | x \right |+\left | y \right |$
+) Xét xy<0,Vì x,y có Vai trò như nhau nên GS $y<0<x$,Mà $\left | x \right |,\left | y \right |< 1\Rightarrow \left | x \right |\left | y \right |<1$
-)Nếu x+y<0Khi đó bđt có dạng:
$x-y\geq \frac{-x-y}{1+xy}\Leftrightarrow (x-y)(1+xy)\geq x-y\Leftrightarrow x-y+x^2y-y^2x\geq -x-y\Leftrightarrow x(2+xy-y^2)\geq 0\Leftrightarrow x[(xy+1)+1-y^2]\geq 0$
-)Nếu x+y>0 Khi đó bđt có dạng:
$x-y\geq \frac{x+y}{xy+1}\Leftrightarrow (x-y)(1+xy)\geq x+y\Leftrightarrow y(x^2-xy-2)\geq 0\Leftrightarrow y[(x^2-1)+(xy-1)]\geq 0$(ll đúng )
 

Tại sao nếu x+y <0 thì bđt có dạng $x-y\geq \frac{-x-y}{1+xy}$ mà không phải là $x-y\geq \frac{-x-y}{\left | 1+xy \right |}$

[Christian Goldbach]

Vì $\left | x \right |\left | y \right |\leq 1\Rightarrow -1\leq xy\leq 1\Rightarrow xy+1\geq 0$