Chủ đề này có 3 trả lời

[Oral1020]

Bài toán: Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $abc=1$,chứng minh rằng:

$a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \ge \dfrac{(a+b+c)^4}{27}-2(a^7+b^7+c^7)+3$

[Atu]

Bài toán: Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $abc=1$,chứng minh rằng:

$a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \ge \dfrac{(a+b+c)^4}{27}-2(a^7+b^7+c^7)+3$

Trước hết, áp dụng bđt $Schur$ cho VT ta có:

$VT\geq 0$

Như vậy, cần chứng minh $VP\leq 0$ hay $2\sum a^{7}\geq \frac{(\sum a)^{4}}{27}+3$

Ta có:

$3\sum a^{2}\geq (\sum a)^{2}$ và $\sum a\geq 3$ nên $\sum a^{2}\geq \sum a$

Vậy:

$\sum a^{7}+5\sum a\geq 6\sum a^{2}\geq 6\sum a\Rightarrow \sum a^{7}\geq \sum a$

Bây giờ ta có:

$2\sum a^{7}\geq \sum a^{7}+\sum a\geq 2\sum a^{4}\geq \sum a^{4}+3\geq \frac{9(\sum a^{2})^{2}}{27}+3\geq \frac{(\sum a)^{4}}{27}+3$

 

Hình như $VT \ge 0;VP \ge 0$ thì không khẳng định được $VT \ge VP$

 $VP\leq 0\Leftrightarrow 2\sum a^{7}\geq \frac{(\sum a)^{4}}{27}+3$ SR,anh viết nhầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Atu: 19-03-2013 - 23:07

[Oral1020]

Trước hết, áp dụng bđt $Schur$ cho VT ta có:

$VT\geq 0$

Như vậy, cần chứng minh $VP\geq 0$ hay $2\sum a^{7}\geq \frac{(\sum a)^{4}}{27}+3$

Ta có:

$3\sum a^{2}\geq (\sum a)^{2}$ và $\sum a\geq 3$ nên $\sum a^{2}\geq \sum a$

Vậy:

$\sum a^{7}+5\sum a\geq 6\sum a^{2}\geq 6\sum a\Rightarrow \sum a^{7}\geq \sum a$

Bây giờ ta có:

$2\sum a^{7}\geq \sum a^{7}+\sum a\geq 2\sum a^{4}\geq \sum a^{4}+3\geq \frac{9(\sum a^{2})^{2}}{27}+3\geq \frac{(\sum a)^{4}}{27}+3$

Hình như $VT \ge 0;VP \ge 0$ thì không khẳng định được $VT \ge VP$

[babystudymaths]

Bài này khá dễ, tuy nhiên cách của mình chưa phải hay nhất. kính mong m.n góp ý 

Ta để nguyên VT vì đây là xì chơ, >=0, ta chỉ cần chứng mih BĐT đúng với $2(a^{7}+b^{7}+c^{7})\geq 3+\frac{(a+b+c)^{4}}{27}$ , bằng cô si dễ thấy $(a^{7}+b^{7}+c^{7})\geq 3$, ta chỉ cần chứng minh  $27(\sum a^{7})\geq (\sum a)^{4},a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}\Rightarrow 27(\sum m^{7})\geq mnp(\sum m^{4})  ....(m=x^{2}z)....27(\sum m^{7})\geq 27\frac{(\sum m^{4})^{2}}{m+n+p}..\Rightarrow \sum m^{4}\geq mnp(m+n+p)\Rightarrow \blacksquare $  

 

p/s:XL m.n vì latex quá kém