Chủ đề này có 3 trả lời

[Strygwyr]

Tìm GTLN của biểu thức A = $\sqrt {x-x^{3}}+\sqrt {x+x^{3}}$  với $0\leq x \leq1$

[nguyencuong123]

Tìm GTLN của biểu thức A = $\sqrt {x-x^{3}}+\sqrt {x+x^{3}}$  với $0\leq x \leq1$

Mình xin được làm:

$A^{2}=2x(1+\sqrt{1-x^{4}})$ đặt $(1+\sqrt{1-x^{4}})=y$ nên $A^{2}=2\sqrt[4]{1-y^{2}}(1+y)=2\sqrt[4]{(1-y)(1+y)(1+y)(1+y)(1+y)(1+y)}=\frac{2\sqrt[4]{(5-5y)(1+y)(1+y)(1+y)(1+y)(1+y)}}{\sqrt[4]{5}}$ áp dụng côshi trên tử số là ra bạn ạ

[nthoangcute]

Tìm GTLN của biểu thức A = $\sqrt {x-x^{3}}+\sqrt {x+x^{3}}$  với $0\leq x \leq1$

 

 

Cách 1:

Xét hàm: \[f(x)=\sqrt {x-x^{3}}+\sqrt {x+x^{3}}\]

\[f'(x)=\frac{1}{2}\,{\frac {1-3\,{x}^{2}}{\sqrt {x-{x}^{3}}}}+\frac{1}{2}\,{\frac {1+3\,{x}^{2}}{\sqrt {x+{x}^{3}}}}\]

$f'(x)=0$ khi và chỉ khi $x=\sqrt[4]{\frac{5}{9}}$

Do đó \[f(x) \leq \max \left\{f(0),f(1),f \left(\sqrt[4]{\frac{5}{9}}\right) \right\}=f \left(\sqrt[4]{\frac{5}{9}}\right)\]

Xong !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 28-03-2013 - 13:12

[nthoangcute]

Cách 2: (Áp dụng cách 1)
Đặt $n=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
\[f(x)^2=\left(\sqrt {x-x^{3}}+\sqrt {x+x^{3}}\right)^2 \leq  \left( 1+{n}^{2} \right)  \left( x-{x}^{3}+{\frac {x+{x}^{3}}{{n}^{2}}} \right) =\sqrt{5}x(\sqrt{5}-x^2)\\={\frac {10}{9}}\,\sqrt[4]{45}-\frac{\sqrt {5}}{27} \left( 3\,x+2\,\sqrt[4]{45} \right)  \left( -3\,x+\sqrt[4]{45} \right) ^{2}\leq \frac {10}{9}\,\sqrt[4]{45}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 28-03-2013 - 13:27