Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyen Ngoc Son]

Chứng minh rằng với mọi n nguyên,  ta có:

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + .......... + \frac{1}{{{n^2}}} < 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Ngoc Son: 31-03-2013 - 21:28

[dark templar]

Chứng minh rằng với mọi n nguyên,  ta có:

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + .......... + \frac{1}{{{n^2}}} < 1$

Ta có :

$$\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$$

 

Nên :

\[\sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{{k^2}}}}  < \sum\limits_{k = 2}^n {\left( {\frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k}} \right)}  = 1 - \frac{1}{n} < 1\]

 

**********

Ta có thể tính chính xác tổng này là $\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{1}{{{k^2}}}}  = \zeta \left( 2 \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{6}$ (hàm Zeta Riemann cấp 2)