Chứng minh bất đẳng thức:
$\frac{2}{{{1^2} + {2^2}}} + \frac{2}{{{2^2} + {3^2}}} + \frac{2}{{{3^2} + {4^2}}} + ... + \frac{2}{{{{2001}^2} + {{2002}^2}}} < \frac{{2001}}{{2002}}$
$\sum {\frac{2}{{{n^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} < \frac{n}{{n + 1}}$
Bắt đầu bởi Nguyen Ngoc Son, 31-03-2013 - 21:32
#2
Đã gửi 31-03-2013 - 21:39
dark templar
-
- Hiệp sỹ
-
- 3788 Bài viết
Kael-Invoker
Chứng minh bất đẳng thức:
$\frac{2}{{{1^2} + {2^2}}} + \frac{2}{{{2^2} + {3^2}}} + \frac{2}{{{3^2} + {4^2}}} + ... + \frac{2}{{{{2001}^2} + {{2002}^2}}} < \frac{{2001}}{{2002}}$
Theo AM-GM thì :
\[\frac{2}{{{k^2} + {{\left( {k + 1} \right)}^2}}} \le \frac{2}{{2k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}\]
Từ đó :
\[\sum\limits_{k = 1}^{2011} {\frac{2}{{{k^2} + {{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \le \sum\limits_{k = 1}^{2011} {\left( {\frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}} \right)} = 1 - \frac{1}{{2012}} = \frac{{2011}}{{2012}}\]
Đẳng thức không xảy ra.
- Nguyen Ngoc Son yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
