Chủ đề này có 2 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán. Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương $\left ( a;b;c \right )$ sao cho $a^{2}+1$, $b^{2}+1$ là các số nguyên tố và $\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )=c^{2}+1$.

[nguyenta98]

Bài toán. Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương $\left ( a;b;c \right )$ sao cho $a^{2}+1$, $b^{2}+1$ là các số nguyên tố và $\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )=c^{2}+1$.

 

Giả sử $a\geq b$
Ta có : $(a^2+1)(b^2+1)=c^2+1\Leftrightarrow a^2b^2+a^2+b^2= c^2$
$\Leftrightarrow b^2(a^2+1)=c^2-a^2=(c-a)(c+a)$
Vì $a^2+1$ nguyên tố nên $a^2+1\mid c-a$ hoặc $a^2+1\mid c+a$
Trong cả hai TH này ta đều có : $c+a\geq a^2+1$ $\Rightarrow c\geq a^2-a+1$
$\Rightarrow b^2(a^2+1)=(c-a)(c+a)\geq (a^2+1)(a-1)^2\Rightarrow b^2\geq (a-1)^2$
$\Rightarrow b\geq a-1$ .Mà $b\leq a$ do đó $b= a$ hoặc $b= a-1$
Thay vào dễ dàng giải ra nghiệm .

[L Lawliet]

Cho anh hỏi luôn, bài này giải bằng phương trình Pell được không vậy Nguyên?

Spoiler

Thánh hiển linh ^^