Topic này được sử dụng để các ĐHV tổng hợp các bài toán chưa có lời giải trong box Dãy số-Giới hạn. Các bài đã có lời giải sẽ được bôi đỏ.
Mong các bạn lưu ý là không post lời giải trong topic này mà hãy bấm vào đường link của bài toán và post lời giải. Khi các bạn đưa lời giải cũng hãy thông báo trong topic này bài mà bạn đã giải được để các ĐHV có thể dễ dàng cập nhật.
**********
Bài 1: Tính $\lim_{n \to \infty}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k + 1}\sum\limits_{1 \leq i_1 < ... < i_k \leq n}\dfrac{2^k}{[(i_1 + 1)(i_2 + 1)]...[(i_k + 1)(i_k + 2)]}\right).$
Bài 2: Cho dãy số $\{U_n\}$ xác định bởi $U_1=U_2=1$
$ \left\{\begin{array}{l}U_{2k+1}=3U_{2k}+6U_{2k-1}\\ \\U_{2k+2}=3U_{2k+1}-6U_{2k}\end{array}\right.\;\;\forall k \ge 1 $
Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.
Bài 3: Cho dãy {x_n} xđ bởi
$x_0=1, x_1=2$,
$n(n+1)x_{n+1} =n(n-1)x_n - (n-2) x_{n-1}$
Tính $\dfrac{x_1}{x_2}+ \dfrac{x_2}{x_3}+... +\dfrac{x_{49}}{x_{50}}+ \dfrac{x_{50}}{x_{51}} $
Bài 4: Cho dãy$ x_{n}$ xác định bởi $x_1=a, x_{n+1}=\dfrac{2x_{n}^{3}}{3x_{n}^{2}-1}$
Tìm $a$ để dãy có giới hạn hữu hạn.
Bài 5: Hãy tìm hai số nguyên a, b sao cho $(a,b) = 1$ và dãy số $ (u_n ) $ với $ \left\{ \begin{array}{l} u_1 = a \\ u_2 = b \\ u_{n + 2} = u_n + u_{n + 1} ,n \ge 1 \\ \end{array} \right. $
gồm toàn các hợp số.
Bài 6: Cho $\{u_n \}$ là dãy các số không âm $(n=1,2,3,...)$ thỏa các đk sau:
- $u_{m+n}-u_{m}-u_{n}$ bằng 0 hay bằng 1,$ \forall m,n \in N^*$
- $u_2=0$
- $u_3>0$
- $u_{9999}=3333$
Tính $u_{2000}$.
Bài 7: Cho 2 dãy $\{x_n \}: \left\{\begin{array}{l}x_0=365\\x_{n+1}=x_{n}(x_{n}^{1996}+1)+1632\end{array}\right.$ và $\{y_n \}: \left\{\begin{array}{l}y_0=16\\y_{n+1}=y_{n}(y_{n}^2+1)-5625\end{array}\right.$
Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào đồng thời là phần tử của 2 dãy trên.
Bài 8: Cho $\alpha, \beta$ là các số thực dương và:
$S(\alpha, \beta, N) = \sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}.$
Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.
Bài 9: Cho dãy số ${x_n}$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 3}\\{x_{n + 1}^3 - 3{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 2} }\end{array}} \right.$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = ?$
Bài 10: Cho $n \in N^*$.Chứng minh rằng:$\lim_{x \to 0}\dfrac{x^{n}-\sin^{n}{x}}{x^{n+2}}=\dfrac{n}{6}$
Bài 11: $a_1=1,a_2=a_3=7, a_{n+1}=\frac{a^2_n+a^2_{n-1}-1}{a_{n-2}}$,CMR:$3a^2_n-3$ là 1 số chính phương.
Bài 12: Cho $a>2$ và dãy $\{x_{n} \}$ với $x_1=a$ và $2x_{n+1}=\sqrt{3x_{n}^2+\frac{n+3}{n}}$.Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 13: Cho $a,b$ là 2 số thực thuộc khoảng $(0,1)$,Dãy số $(u_n),(n=0,1,2,3...,n)$ được xác định như sau $u_0=a,u_1=b và {u_{n + 2}} = \dfrac{1}{{2010}}u_{n + 1}^4 + \dfrac{{2009}}{{2010}}\sqrt[4]{{{u_n}}}$
Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 14: Cho $p \in [1;2)$ Chứng minh tồn tại dãy số $\{u_n \}$ thỏa mãn $\left( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}-1 \right)u_{n}^{1-\dfrac{1}{p}}< \infty$.
Bài 15: Cho: $u_1=1;u_2=2;u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^3 -1}{u_{n-1}}$.Tìm số hạng tổng quát của dãy?
Bài 16: Cho $x_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{k-1}{k} \right )^{n} $
Tính $\lim_{n \to \infty } \frac{x_{n}}{n}$.
Bài 17: Cho dãy số $( a_n)_{n\geq 1}$ được xác định bởi $a_{1}=1$ và $ a_n=\frac{2n-3}{2n}a_{n-1}$ với mọi $n\geq 2 $.Ta lập dãy số $(b_{n})_{n\geq 1}$ như sau $b_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}$ với $n=1,2,3... $.Chứng minh rằng dãy $(b_{n})_{n\geq 1}$có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn đó.
Bài 19: Tính giới hạn sau:
$$\lim \left( {\frac{{{1^k} + {2^k} + ... + {n^k}}}{{{n^k}}} - \frac{n}{{k + 1}}} \right)$$
Không dùng định lý Stolz.
Bài 20: Cho $x_{n}:1<x_1<x_2 ;x_{n+1}= 1 + x_{n} - \frac{x_{n}^2}{2}$
CMR $x_n $ có giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Bài 21: Cho $F$ là một nguyên hàm của hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho ${e^{x - F\left( x \right)}} = F\left( x \right)$. Tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {f\left( x \right)} \right)^x}$.
Bài 22: Cho dãy số $\left \{ x_{n} \right \}$: $\left\{\begin{matrix}x_{1}=1 \\x_{n+1} =7-log_{3}\left ( x_{n}^{2} +11\right )\end{matrix}\right.$. Chứng minh dãy số có giới hạn và tính giới hạn đó.
Bài 23: Xét dãy số thực $(x_{n})$ cho bởi :
$\left\{\begin{matrix} x_{1}=a & \\ x_{n+1}= 3x_{n}^{3}-7x_{n}^{2}+5x_{n} & \end{matrix}\right.$
Xác định a để $(x_{n})$ có giới hạn .Tìm giới hạn đó.
Bài 24: Tìm giới hạn của dãy $(u_{n})$ cho bởi :
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2011 & \\ u_{n+1}=\frac{\pi }{8}(cosu_{n}+\frac{cos2u_{n}}{2}+\frac{cos3u_{n}}{3}) & \end{matrix}\right.$ , $n\geq 1.$
Bài 25: Cho dãy $\{u_{n} \}_{1}^{\infty}$ được xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix} u_1=a \\ u_{n+1}=u_{n}+\ln{\left ( \frac{2u_{n}+3}{u_{n}-1} \right )} \end{matrix}\right.$$
Tùy theo $a$,hãy xét tính hội tụ của $\{u_{n} \}$.
Bài 26: Cho dãy số $(U_n)$ được xác định bởi $U_0= U_1=1$ và $U_{n+1}=\sqrt{U_n}+\sqrt{U_{n-1}}$
Tìm công thức số hạng tổng quát $U_n$ của dãy.
Bài 27: Cho $m$ là số nguyên dương .Xác định dãy $a_0,a_1,a_2,...$như sau $a_0=1,a_1=m$và $a_m=m^2 a_n-a_{n-1}$với $n=1,2,...$Chứng minh rằng với mọi cặp sắp thứ tự các số tự nhiên $(a,b)$với $a\leq b$ là nghiệm của phương trình $\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}=m^{2}$khi và chỉ khi $(a,b)=( a_n,a_{n+1})$với n là một số tự nhiên nào đó.
Bài 28: Chứng minh rằng $\lim_{n \to \infty }(a_{n+1}-\frac{ a_n}{2})=0$ thì $\lim_{n \to \infty } a_n=0$
b) Tìm các giá trị của ấo cho nếu $\lim_{n \to \infty }(a_{n+1}-aa_{n})=0$ thì $\lim_{n \to \infty } a_n=0$
Bài 29: Gọi $\phi (n)$là hàm Euler .Tìm tất cả các số nguyên k>1thoả mãn điều kiện :Với a là số ngưyên >1 bất kì đặt $x_0=a,x_{n+1}=k\phi (x_{n})$ với $n=0,1...$thì $(x_{n})$ luôn bị chặn.
Bài 30: Cho dãy số thực $(x_{n})$ xác định bởi $(x_{1})=3$ và $x_{n}=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)$ với mọi n$\geqslant$2. Chứng minh dãy số đó có giới hạn khi $n\rightarrow +\infty$. Tìm giới hạn đó.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 18-04-2013 - 12:25