Chủ đề này có 1 trả lời

[NTHMyDream]

bài 1: Cho dãy $(U_{n})$ lập thành 1 cấp số cộng, dãy $(V_{n})$ lập thành 1 cấp số nhân. Biết tồn tại 3 số nguyên dương m,p,k (m<p<k) mà

$U_{m}=V_{m}=a$

$U_{p}=V_{p}= b$

$U_{k}=V_{k}= c$

chứng minh rằng   $a^{b-c}.b^{c-a}.c^{a-b}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnThuy: 08-04-2013 - 21:01

[Huuduc921996]

bài 1: Cho dãy $(U_{n})$ lập thành 1 cấp số cộng, dãy $(V_{n})$ lập thành 1 cấp số nhân. Biết tồn tại 3 số nguyên dương m,p,k (m<p<k) mà

$U_{m}=V_{m}=a$

$U_{p}=V_{p}= b$

$U_{k}=V_{k}= c$

chứng minh rằng   $a^{b-c}.b^{c-a}.c^{a-b}=1$

Gọi dãy $\left ( U_{n} \right )$ cho bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1} & \\ u_{n} = u_{1} + (n-1)d & \end{matrix}\right.$

Gọi dãy $\left ( V_{n} \right )$ cho bởi $\left\{\begin{matrix} v_{1} & \\ v_{n} = v_{1} q^{n-1} & \end{matrix}\right.$

 

Vì $U_{m}=V_{m}=a$ $\Rightarrow$ $a= u_{1} +(m-1)d = v_{1} q^{m-1}$

Vì $U_{p}=V_{p}=a$ $\Rightarrow$ $a= u_{1} +(p-1)d = v_{1} q^{p-1}$

Vì $U_{k}=V_{k}=a$ $\Rightarrow$ $a= u_{1} +(k-1)d = v_{1} q^{k-1}$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} b-c=(p-k)d\\c-a=(k-m)d \\ a-b=(m-k)d \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $a^{b-c}.b^{c-a}.c^{a-b}=a^{(p-k)d}.b^{(k-m)d}.c^{(m-k)d}=(a^{p-k}.b^{k-m}.c^{m-p})^{d}$

Ta xét: $A=a^{p-k}.b^{k-m}.c^{m-k}$

$A=a^{p-k}.b^{k-m}.c^{m-p}\\\\ \Leftrightarrow A=\frac{a^{p}}{a^{k}}.\frac{b^{k}}{b^{m}}.\frac{c^{m}}{c^{p}}\\\\ \Leftrightarrow A= \frac{(v_{1}q^{m-1})^{p}}{(v_{1}q^{m-1})^{k}}.\frac{(v_{1}q^{p-1})^{k}}{(v_{1}q^{p-1})^{m}}.\frac{(v_{1}q^{k-1})^{m}}{(v_{1}q^{k-1})^{p}}\\\\ \Leftrightarrow A=1$

 

$\Rightarrow$ đccm