Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyencuong123]

13.Chứng minh rằng nếu a,b,c>0 thì: $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

[babystudymaths]

13.Chứng minh rằng nếu a,b,c>0 thì: $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

Đặt biểu thức đã cho là P(sau khi chuyển $\sqrt{2abc}$ về VT),áp dụng BĐT quen thuộc 

$(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$ suy ra 

$P^{2}\geq 3\sum \frac{2a}{\sqrt{(b+c)(c+a)}}$,ta sẽ CM $\sum \frac{2a}{\sqrt{(b+c)(c+a)}}\geq 3$ hay $\sum 2a\sqrt{a+b}\geq 3\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}$,đặt $\sqrt{a+b}= x,\sqrt{b+c}= y,\sqrt{a+c}= z$,bđt cần Cm tương đương  $\sum (x^{2}-y^{2}+z^{2})x\geq 3xyz$,lại có $\sum x^{3}\geq \sum xy^{2}$,ta cần CM $\sum x^{2}y\geq 3xyz$-chuẩn men theo bđt Cauchy,từ đây suy ra $P^{2}\geq 9\Rightarrow P\geq 3\Rightarrow \blacksquare$

[KietLW9]

13.Chứng minh rằng nếu a,b,c>0 thì: $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}+\sqrt{\frac{2ca}{b(b+c)}}+\sqrt{\frac{2ab}{c(c+a)}}\geqslant 3$

Áp dụng Cauchy, ta có: $\sqrt{\frac{a(a+b)}{2bc}}\leqslant \frac{1}{2}(\frac{a+b}{2b}+\frac{a}{c})=\frac{2ab+bc+ca}{4bc}\Rightarrow \sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}\geqslant \frac{4bc}{2ab+bc+ca}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}+\sqrt{\frac{2ca}{b(b+c)}}+\sqrt{\frac{2ab}{c(c+a)}}\geqslant \frac{4bc}{2ab+bc+ca}+\frac{4ca}{2bc+ca+ab}+\frac{4ab}{2ca+ab+bc}=\sum_{cyc}\frac{4(bc)^2}{2ab.bc+(bc)^2+ca.bc}\geqslant \frac{4(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2+ab.bc+bc.ca+ca.ab}\geqslant \frac{4(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2+\frac{(ab+bc+ca)^2}{3}}=3(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$