Chủ đề này có 1 trả lời

[Oral1020]

Bài toán: Cho $x;y;z$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:

$$\dfrac{2}{3}+\dfrac{27}{xyz} \ge \dfrac{x+y+z+36}{x^2+y^2+z^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 15-04-2013 - 15:18

[PTKBLYT9C1213]

Bài toán: Cho $x;y;z$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:

$$\dfrac{2}{3}+\dfrac{27}{xyz} \ge \dfrac{x+y+z+36}{x^2+y^2+z^2}$$

Ta có: $xyz\leq \frac{(x+y+z)^{3}}{27}$

$\Rightarrow \frac{2}{3}+\frac{27}{xyz}\geq \frac{2}{3}+\frac{729}{(x+y+z)^{3}}$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{(x+y+z)^{3}}{3}$

$\Rightarrow \frac{x+y+z+36}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\leq \frac{3(x+y+z)+108}{(x+y+z)^{2}}$

Ta cần chứng minh: $\frac{2}{3}+\frac{729}{(x+y+z)^{3}}\geq \frac{3(x+y+z)+108}{(x+y+z)^{2}}$

Đặt x+y+z=a (a>0). Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\frac{2}{3}+\frac{729}{a^{3}}\geq \frac{3a+108}{a^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{2a^{3}+2187}{3a^{3}}\geq \frac{9a^{2}+324a}{3a^{3}}$

$\Leftrightarrow 2a^{3}+2187\geq 9a^{2}+324a$

$\Leftrightarrow (2a+7)(a-9)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh